Nombre déficientvignette|Diagramme en bâtons de la somme des diviseurs propres de en fonction de , pour variant de 1 à 40. Les nombres déficients (gris) sont ceux pour lesquels le bâton reste sous la première diagonale. En mathématiques, un nombre déficient est un nombre entier naturel n qui est strictement supérieur à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que où est la somme des diviseurs entiers positifs de n y compris n. La valeur est appelée déficience de n.
Nombre abondantEn mathématiques, un nombre abondant est un nombre entier naturel non nul qui est strictement inférieur à la somme de ses diviseurs stricts ; autrement dit, c'est un entier n strictement positif tel que : où est la somme des entiers positifs diviseurs de n, cette fois. Exemples : Prenons le nombre 10 : Les diviseurs de 10 sont 1, 2, et 5. La somme 1 + 2 + 5 donne 8. Or 8 est inférieur à 10. Conclusion : 10 n'est donc pas un nombre abondant. Prenons le nombre 12 : Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, et 6.
Nombre parfaitEn arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la . Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au , a démontré que si M = 2 − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2(2 – 1) est parfait.
Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseursEn mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque : La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers et n premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1.
