Concept
Filter (set theory)
Concepts associés (26)
Filtre de Fréchet
En topologie, le filtre de Fréchet, nommé d'après Maurice René Fréchet, est le filtre sur N constitué des complémentaires des parties finies de N. Ce filtre est engendré par la base de filtre constituée des sections finissantes S(k) = { i ∈ N | i ≥ k }, k = 0, 1, 2.... Plus généralement, le filtre de Fréchet sur un ensemble infini X est l'ensemble des parties cofinies de X. Il ne diffère alors de la topologie cofinie sur X que par l'absence de l'ensemble vide.
Neighbourhood system
In topology and related areas of mathematics, the neighbourhood system, complete system of neighbourhoods, or neighbourhood filter for a point in a topological space is the collection of all neighbourhoods of Neighbourhood of a point or set An of a point (or subset) in a topological space is any open subset of that contains A is any subset that contains open neighbourhood of ; explicitly, is a neighbourhood of in if and only if there exists some open subset with . Equivalently, a neighborhood of is any set that contains in its topological interior.
Kernel (set theory)
In set theory, the kernel of a function (or equivalence kernel) may be taken to be either the equivalence relation on the function's domain that roughly expresses the idea of "equivalent as far as the function can tell", or the corresponding partition of the domain. An unrelated notion is that of the kernel of a non-empty family of sets which by definition is the intersection of all its elements: This definition is used in the theory of filters to classify them as being free or principal.
Finite intersection property
In general topology, a branch of mathematics, a non-empty family A of subsets of a set is said to have the finite intersection property (FIP) if the intersection over any finite subcollection of is non-empty. It has the strong finite intersection property (SFIP) if the intersection over any finite subcollection of is infinite. Sets with the finite intersection property are also called centered systems and filter subbases. The finite intersection property can be used to reformulate topological compactness in terms of closed sets; this is its most prominent application.
Prébase
En mathématiques, plus précisément en topologie, une prébase A d'une topologie T sur un ensemble X est un ensemble de parties de X qui engendre T, c'est-à-dire tel que T soit la plus petite topologie sur X pour laquelle tous les éléments de A sont des ouverts. Un ensemble de parties d'un ensemble X est donc toujours une prébase d'une certaine topologie sur X (celle qu'il engendre), ce qui est une différence avec la notion de base d'une topologie : un ensemble de parties de X n'est une base d'une certaine topologie que si l'intersection de deux éléments quelconques de cet ensemble est une union d'éléments de ce même ensemble.
Pi-système
En mathématiques, un π-système (ou pi-système) sur un ensemble est un ensemble de parties de stable par intersection. Les π-systèmes font partie des familles d'ensembles que l'on rencontre en théorie de la mesure et théorie des probabilités. On sait par exemple grâce au lemme de classe monotone que deux mesures finies, et en particulier deux mesures de probabilités, dont les valeurs coïncident sur un π-système, coïncident également sur la tribu engendrée par le dit π-système.
Ultrafilter on a set
In the mathematical field of set theory, an ultrafilter on a set is a maximal filter on the set In other words, it is a collection of subsets of that satisfies the definition of a filter on and that is maximal with respect to inclusion, in the sense that there does not exist a strictly larger collection of subsets of that is also a filter. (In the above, by definition a filter on a set does not contain the empty set.) Equivalently, an ultrafilter on the set can also be characterized as a filter on with the property that for every subset of either or its complement belongs to the ultrafilter.
Suite généralisée
En mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith, ou filet, étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels. Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite), on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A. Soit un filet dans un ensemble E et, pour tout , .
Filtre (mathématiques)
En mathématiques, et plus particulièrement en topologie générale, un filtre est une structure définie sur un ensemble, et permettant d'étendre la notion de limite aux situations les plus générales. La théorie des filtres a été inventée, en 1937, par Henri Cartan et utilisée par Bourbaki. Les filtres ont permis en particulier une démonstration élégante du théorème de Tychonov.
Théorème de Tykhonov
Le théorème de Tychonov (ou Tychonoff) est un théorème de topologie qui affirme qu'un produit d'espaces topologiques compacts est compact au sens de la topologie produit. Il a été publié en 1930 par le mathématicien russe Andreï Nikolaïevitch Tikhonov. Il a plusieurs applications en topologie algébrique et différentielle, particulièrement en analyse fonctionnelle, pour la preuve du théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki et le compactifié de Stone-Čech.