Décomposition en valeurs singulières

En mathématiques, le procédé d'algèbre linéaire de décomposition en valeurs singulières (ou SVD, de l'anglais singular value decomposition) d'une matrice est un outil important de factorisation des matrices rectangulaires réelles ou complexes. Ses applications s'étendent du traitement du signal aux statistiques, en passant par la météorologie. Le théorème spectral énonce qu'une matrice normale peut être diagonalisée par une base orthonormée de vecteurs propres. On peut voir la décomposition en valeurs singulières comme une généralisation du théorème spectral à des matrices arbitraires, qui ne sont pas nécessairement carrées. Soit M une matrice m×n dont les coefficients appartiennent au corps K, où K = R ou K = C. Alors il existe une factorisation de la forme : avec U une matrice unitaire m×m sur K, Σ une matrice m×n dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls et tous les autres sont nuls, et V* est la matrice adjointe à V, matrice unitaire n×n sur K. On appelle cette factorisation la décomposition en valeurs singulières de M.thumb|right | 280px | Décomposition en valeurs singulières dans le cas d'une matrice réelle à 2 dimensions M. Cette transformation déforme, par exemple, un cercle unitaire bleu ci-dessus à gauche en une ellipse dans le coin supérieur droit de l'image. La transformation M peut alors être décomposée en une rotation V* suivie d'une compression ou étirement Σ le long des axes de coordonnées suivie en fin d'une nouvelle rotation U. Les valeurs singulières σ1 et σ2 correspondent aux longueurs des grand et petit axes de l'ellipse. La matrice V contient un ensemble de vecteurs de base orthonormés de Kn, dits « d'entrée » ou « d'analyse » ; La matrice U contient un ensemble de vecteurs de base orthonormés de Km, dits « de sortie » ; La matrice Σ contient dans ses coefficients diagonaux les valeurs singulières de la matrice M, elles correspondent aux racines des valeurs propres de . Une convention courante est de ranger les valeurs Σi,i par ordre décroissant.