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Concept
Matrice laplacienne
Résumé
En théorie des graphes, une matrice laplacienne, ou matrice de Laplace, est une matrice représentant un graphe.
La matrice laplacienne d'un graphe G non orienté et non réflexif est définie par : où est la matrice des degrés de G et la matrice d'adjacence de G. Formellement :
A la différence de la matrice d'adjacence d'un graphe, la matrice laplacienne a une interprétation algébrique ce qui rend son analyse spectrale fructueuse.
Plus précisément la matrice correspond à l'opérateur de diffusion sur le graphe. Si correspond à la densité de particules d'un gaz en chacun des sommets du graphe, il est facile de noter que correspond à la densité après une itération de la diffusion au cours de laquelle chaque particule se déplace de son sommet à un voisin choisi aléatoirement.
Également, la matrice laplacienne peut être vue comme une forme quadratique caractérisant la régularité d'un vecteur au regard de la distance définie par le graphe. En effet, on a la formule suivante: .
La matrice laplacienne est utilisée par le théorème de Kirchhoff pour calculer le nombre d'arbres couvrants d'un graphe.
Le spectre de la matrice laplacienne est étudiée en théorie spectrale des graphes. Cette étude permet entre autres de définir des méthodes spectrales pour le partitionnement de graphe.
Si les valeurs propres sont triées On peut par exemple remarquer que si et seulement si le graphe contient au moins composantes connexes.
Plus généralement, soit un graphe non orienté et non réflexif G = (S, A) à n sommets, pondéré par la fonction poids qui à toute arête associe son poids . La matrice laplacienne de G vérifie :
Ces définitions peuvent se généraliser aux graphes orientés ; dans ce cas, la matrice laplacienne n'est plus symétrique.
Dans le cas de certains problèmes notamment l', il est préférable de garder les valeurs propres dans l'intervalle (les valeurs propres de la matrice laplacienne peuvent prendre des valeurs beaucoup plus grandes). On utilise alors une matrice laplacienne normalisée, définie par (pour éviter les divisions par 0, on pose que, lorsque , alors ).
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