Concept

Matrice laplacienne

Résumé
En théorie des graphes, une matrice laplacienne, ou matrice de Laplace, est une matrice représentant un graphe. Définition La matrice laplacienne d'un graphe G non orienté et non réflexif est définie par : L = D - A où D est la matrice des degrés de G et A la matrice d'adjacence de G. Formellement : L_{i,j}:=\left{ \begin{matrix} \deg(s_i) & \mbox{si } i = j\ -x & \mbox{ si } i \neq j \mbox{ avec }x \mbox{ le nombre d'ar}\hat{\mbox{e}}\mbox{tes reliant directement }i\grave{\mbox{ a }} j \ 0 & \mbox{sinon} \end{matrix} \right. Intuition A la différence de la matrice d'adjacence d'un graphe, la matrice laplacienne a une interprétation algébrique ce qui rend son analyse spectrale fructueuse. Plus précisément la matrice D^{-1}A correspond à l'opérateur de diffusion sur le graphe. Si x \in \mathbb{R}^{n} correspond à la densité de particules d'un gaz en chacun des n s
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