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Concept
Paraboloïde
Résumé
En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie.
Certaines sections d'un paraboloïde avec un plan sont des paraboles. D'autres sont, selon le cas, des ellipses ou des hyperboles. On distingue donc les paraboloïdes elliptiques et les paraboloïdes hyperboliques.
Cette surface peut s'obtenir en faisant glisser une parabole sur une autre parabole tournant sa concavité dans la même direction.
Dans un repère bien choisi, son équation est de la forme
Le cas fournit, en repère orthonormal, le cas particulier du paraboloïde de révolution. Ses sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles. Le schéma ci-contre représente, pour et compris entre -1 et 1, la surface d'équation . Les cercles « horizontaux » se voient en trait bleu-vert et les paraboles « verticales » en trait jaune.
Le volume du bol paraboloïde elliptique de hauteur est donné par la formule , où désigne l'aire de l'ellipse qui le délimite.
Cette surface possède des applications classiques dans le domaine des miroirs. Elle donne sa forme autant à des projecteurs comme les phares de voiture qu'à des capteurs comme les antennes paraboliques ou les fours solaires tels que celui d'Odeillo. L'avantage d'une surface parabolique par rapport à une découpe sphérique est la concentration des rayons réfléchis en un seul point : le point focal. Une surface sphérique ne va pas réfléchir les rayons en un seul point mais va les disperser sur son axe de rotation en fonction de l'angle d'incidence.
Cette surface peut s'obtenir en faisant glisser une parabole sur une autre parabole tournant sa concavité dans la direction opposée. C'est aussi une surface réglée qu'on peut engendrer par le déplacement d'une droite s'appuyant sur deux droites fixes non coplanaires tout en restant parallèle à un plan fixe. Il est donc possible de construire une telle surface avec des ficelles tendues entre 4 pieux.
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