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Concept
Loi d'extremum généralisée
Résumé
En probabilité et statistique, la loi d'extrémum généralisée est une famille de lois de probabilité continues qui servent à représenter des phénomènes de valeurs extrêmes (minimum ou maximum). Elle comprend la loi de Gumbel, la loi de Fréchet et la loi de Weibull, respectivement lois d'extrémum de type I, II et III. Le théorème de Fisher-Tippett-Gnedenko établit que la loi d'extremum généralisée est la distribution limite du maximum (adéquatement normalisé) d'une série de variables aléatoires indépendantes de même distribution (iid).
La loi d'extrémum généralisée est connue sous le nom de loi de Fisher-Tippett, d'après Ronald Fisher et L. H. C. Tippett qui ont étudié les trois formes fonctionnelles ci-dessous. Parfois, ce nom signifie plus particulièrement le cas de la loi de Gumbel.
Soient est un paramètre de position, un paramètre de dispersion et un paramètre de forme appelé « indice des valeurs extrêmes ». La fonction de répartition de la loi d’extrémum généralisée est :
Si , l'expression n'est pas définie et doit s'entendre comme une limite qu'on peut calculer :
La fonction de densité est :
Sauf si :
Soit avec et la fonction gamma. L'espérance, la variance et le mode d'une variable suivant la loi d'extremum généralisée peuvent s'exprimer par :
La dissymétrie dépend du signe de :
Le kurtosis vaut :
Le paramètre spécifie le comportement de la distribution dans ses queues.
La distribution décrite est celle d'un maximum. La loi d'extrémum généralisée pour un minimum s'obtient en remplaçant par dans les fonctions, et en passant de à . En particulier, la loi de Weibull « ordinaire », telle qu'elle apparaît dans les études de fiabilité, s'obtient en posant la variable , pour offrir un support strictement positif (). Elle se voit donc « retournée » : son domaine a une borne inférieure au lieu d'une borne supérieure. Cependant, dans les applications pratiques, 0 est souvent pris comme borne inférieure.
Les trois lois ont des domaines de nature différente : la loi de Gumbel est non bornée, la loi de Fréchet est bornée inférieurement, la loi de Weibull retournée est bornée supérieurement.
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