Concept
Puissance du continu
Concepts associés (19)
Théorème de König (théorie des ensembles)
In set theory, König's theorem states that if the axiom of choice holds, I is a set, and are cardinal numbers for every i in I, and for every i in I, then The sum here is the cardinality of the disjoint union of the sets mi, and the product is the cardinality of the Cartesian product. However, without the use of the axiom of choice, the sum and the product cannot be defined as cardinal numbers, and the meaning of the inequality sign would need to be clarified.
Nombre réel
En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
Aleph (nombre)
vignette|Aleph-zéro, le plus petit aleph En théorie des ensembles, les alephs sont les cardinaux des ensembles infinis bien ordonnés. En quelque sorte, le cardinal d'un ensemble représente sa « taille », indépendamment de toute structure que puisse avoir cet ensemble (celle d'ordre en particulier dans le cas présent). Ils sont nommés ainsi d'après la lettre aleph, notée א, première lettre de l'alphabet hébreu, qui est utilisée pour les représenter.
Théorème de Cantor
vignette|Georg Cantor Le théorème de Cantor est un théorème mathématique, dans le domaine de la théorie des ensembles. Il énonce que le cardinal d'un ensemble E est toujours strictement inférieur au cardinal de l'ensemble de ses parties P(E), c'est-à-dire essentiellement qu'il n'existe pas de bijection entre E et P(E). Combiné avec l'axiome de l'ensemble des parties et l'axiome de l'infini de la théorie des ensembles usuelle, ce théorème implique qu'il existe une hiérarchie infinie d'ensembles infinis en termes de cardinalité.
Équipotence
En mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux.
Cardinal régulier
En théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à . Une autre définition possible équivalente est que est régulier si pour tout cardinal , toute fonction est bornée. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier.
Successor cardinal
In set theory, one can define a successor operation on cardinal numbers in a similar way to the successor operation on the ordinal numbers. The cardinal successor coincides with the ordinal successor for finite cardinals, but in the infinite case they diverge because every infinite ordinal and its successor have the same cardinality (a bijection can be set up between the two by simply sending the last element of the successor to 0, 0 to 1, etc., and fixing ω and all the elements above; in the style of Hilbert's Hotel Infinity).
Beth (nombre)
Dans la théorie des ensembles ZFC (avec axiome du choix), les nombres beth désignent une hiérarchie de nombres cardinaux indexée par les ordinaux, obtenue à partir du dénombrable en prenant le cardinal de l'ensemble des parties pour successeur, et la borne supérieure (ou réunion) pour passer à la limite. La notation de ces nombres utilise la deuxième lettre de l'alphabet hébreu, ou ב. En théorie des ensembles, les nombres cardinaux représentent la taille d'un ensemble.
Cardinal limite
En mathématiques et en particulier en théorie des ensembles, un cardinal limite est un type particulier de nombre cardinal. Il en existe deux définitions, une "faible" et l'autre "forte", qu'il faut distinguer selon le contexte. Un nombre cardinal est un cardinal faiblement limite si ce n'est ni 0, ni un cardinal successeur. Ceci signifie qu'on ne peut pas "accéder" à par une opération de succession sur les cardinaux, c'est-à-dire que ne s'écrit pas sous la forme .
Cofinalité
Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ; ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b. La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A. La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou . Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de .