Commande optimaleLa théorie de la commande optimale permet de déterminer la commande d'un système qui minimise (ou maximise) un critère de performance, éventuellement sous des contraintes pouvant porter sur la commande ou sur l'état du système. Cette théorie est une généralisation du calcul des variations. Elle comporte deux volets : le principe du maximum (ou du minimum, suivant la manière dont on définit l'hamiltonien) dû à Lev Pontriaguine et à ses collaborateurs de l'institut de mathématiques Steklov , et l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, généralisation de l'équation de Hamilton-Jacobi, et conséquence directe de la programmation dynamique initiée aux États-Unis par Richard Bellman.
Principe de DirichletEn mathématiques, le principe de Dirichlet (en théorie du potentiel), dû au mathématicien allemand Lejeune Dirichlet, énonce l'existence d'une fonction u(x) solution de l'équation de Poisson sur un domaine de avec les conditions aux limites et plus précisément qu'alors u minimise l'énergie de Dirichlet parmi toutes les fonctions deux fois différentiables telles que sur (à condition qu'il existe au moins une fonction pour laquelle l'intégrale de Dirichlet soit finie). Comme l'intégrale de Dirichlet est minorée, elle possède une borne inférieure.
Direct method in the calculus of variationsIn mathematics, the direct method in the calculus of variations is a general method for constructing a proof of the existence of a minimizer for a given functional, introduced by Stanisław Zaremba and David Hilbert around 1900. The method relies on methods of functional analysis and topology. As well as being used to prove the existence of a solution, direct methods may be used to compute the solution to desired accuracy. The calculus of variations deals with functionals , where is some function space and .
Hamiltonian opticsHamiltonian optics and Lagrangian optics are two formulations of geometrical optics which share much of the mathematical formalism with Hamiltonian mechanics and Lagrangian mechanics. Hamilton's principle In physics, Hamilton's principle states that the evolution of a system described by generalized coordinates between two specified states at two specified parameters σA and σB is a stationary point (a point where the variation is zero) of the action functional, or where and is the Lagrangian.
Transformation canoniqueEn mécanique hamiltonienne, une transformation canonique est un changement des coordonnées canoniques (q, p, t) → (Q, P, t) qui conserve la forme des équations de Hamilton, sans pour autant nécessairement conserver le Hamiltonien en lui-même. Les transformations canoniques sont utiles pour les équations de Hamilton-Jacobi (une technique utile pour calculer les quantités conservées) et le théorème de Liouville (à la base de la mécanique statistique classique).
Jet bundleIn differential topology, the jet bundle is a certain construction that makes a new smooth fiber bundle out of a given smooth fiber bundle. It makes it possible to write differential equations on sections of a fiber bundle in an invariant form. Jets may also be seen as the coordinate free versions of Taylor expansions. Historically, jet bundles are attributed to Charles Ehresmann, and were an advance on the method (prolongation) of Élie Cartan, of dealing geometrically with higher derivatives, by imposing differential form conditions on newly introduced formal variables.
Maupertuis's principleIn classical mechanics, Maupertuis's principle (named after Pierre Louis Maupertuis) states that the path followed by a physical system is the one of least length (with a suitable interpretation of path and length). It is a special case of the more generally stated principle of least action. Using the calculus of variations, it results in an integral equation formulation of the equations of motion for the system. Maupertuis's principle states that the true path of a system described by generalized coordinates between two specified states and is a stationary point (i.
Richard CourantRichard Courant (né le à Lublinitz en Silésie, mort le à New York) est un mathématicien germano-américain. Pendant sa jeunesse, ses parents ont souvent déménagé, de Glatz à Breslau puis à Berlin en 1905. Il est resté à Breslau pour entrer à l'université. Ayant trouvé les cours d'un niveau insuffisant, il poursuit ses études à Zurich et Göttingen. Il devient l'assistant de David Hilbert à Göttingen et y obtient son doctorat en 1910. Il a dû se battre pendant la Première Guerre mondiale, mais il fut blessé et rendu à la vie civile peu après son incorporation dans l'armée.
Enveloppe (géométrie)En géométrie différentielle, une famille de courbes planes possède fréquemment une courbe enveloppe. Celle-ci admet deux définitions géométriques traditionnelles, presque équivalentes : l'enveloppe est une courbe tangente à chacune des courbes de la famille ; elle est le lieu des points caractéristiques, points d'intersection de deux courbes infiniment proches. De façon plus précise, l'enveloppe possède une définition analytique, c'est l'ensemble des points critiques de l'application de projection associée à la famille de courbes.
Énergie de DirichletEn mathématiques le terme d'énergie, ou énergie de Dirichlet est employé pour désigner une quantité numérique associée à une application : même si la forme précise varie selon les contextes, il s'agit de l'intégrale du carré de sa dérivée. L'énergie est une quantité associée à des problèmes de minimisation : résolution du problème de Dirichlet en théorie du potentiel, recherche de géodésiques ou d'applications harmoniques en géométrie riemannienne. En théorie du signal il existe une énergie de forme voisine mais ne faisant pas apparaître de dérivée.
