Groupe unitaire

En mathématiques, le groupe unitaire de degré n sur un corps K relativement à un anti automorphisme involutif (cf. Algèbre involutive) σ de K (par exemple K le corps des nombres complexes et σ la conjugaison) est le groupe des matrices carrées A d'ordre n à coefficients dans K, qui sont unitaires pour σ, c'est-à-dire telles Aσ(tA) = In. Plus généralement, on peut définir le groupe unitaire d'une forme hermitienne ou antihermitienne non dégénérée φ sur un espace vectoriel sur un corps comme étant le groupe des éléments f de GL(E) tels que φ(f(x), f(y)) = φ(x, y) quels que soient les vecteurs x et y de E. Groupes unitaires complexes Groupes unitaires compacts U(n,ℝ) coïncide avec le groupe orthogonal O(n, ℝ). U(n, ℂ) est généralement abrégé en U(n). U(1) est isomorphe au groupe des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication. U(n) est un groupe de Lie compact réel de dimension n2. Son algèbre de Lie est formée des matrices complexes n×n . Voi

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Irreducibility of disconnected subgroups of exceptional algebraic groups

Soumaïa Nadia Ghandour

This dissertation is concerned with the study of irreducible embeddings of simple algebraic groups of exceptional type. It is motivated by the role of such embeddings in the study of positive dimensional closed subgroups of classical algebraic groups. The classification of the maximal closed connected subgroups of simple algebraic groups was carried out by E. B. Dynkin, G. M. Seitz and D. M. Testerman. Their analysis for the classical groups was based primarily on a striking result: if G is a simple algebraic group and ø : G → SL(V ) is a tensor indecomposable irreducible rational representation then, with specified exceptions, the image of G is maximal among closed connected subgroups of one of the classical groups SL(V), Sp(V ) or SO(V ). In the case of closed, not necessarily connected, subgroups of the classical groups, one is interested in considering irreducible embeddings of simple algebraic groups and their automorphism groups: given a simple algebraic group Y defined over an algebraically closed field K, one is led to study the embeddings G < Aut(Y ), where G and Aut(Y ) are closed subgroups of SL(V ) and V is an irreducible rational KY -module on which G acts irreducibly. A partial analysis of such embeddings in the case of classical algebraic groups Y was carried out by B. Ford. We purpose to classify all triples (G, Y, V ) where Y is a simple algebraic group of exceptional type, defined over an algebraically closed field K of characteristic p > 0, G is a closed non-connected positive dimensional subgroup of Y and V is a nontrivial irreducible rational KY -module such that V|G is irreducible. We obtain a precise description of such triples (G, Y, V ).

EPFL2008

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Irreducible disconnected subgroups of exceptional algebraic groups

Soumaïa Nadia Ghandour

This paper studies the irreducible embeddings of simple algebraic groups of exceptional type. It is motivated by the role of such embeddings in the study of positive dimensional closed subgroups of classical algebraic groups. In this paper we give a classification of all triples where Y is a simple algebraic group of exceptional type, defined over an algebraically closed field K of characteristic , G is a closed disconnected positive dimensional subgroup of Y and V is a nontrivial rational irreducible KY-module on which G acts irreducibly.

2010

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The U (n) free rigid body: Integrability and stability analysis of the equilibria

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A natural extension of the free rigid body dynamics to the unitary group U (n) is considered. The dynamics is described by the Euler equation on the Lie algebra u(n), which has a bi-Hamiltonian structure, and it can be reduced onto the adjoint orbits, as in the case of the SO(n). The complete integrability and the stability of the isolated equilibria on the generic orbits are considered by using the method of Bolsinov and Oshemkov. In particular, it is shown that all the isolated equilibria on generic orbits are Lyapunov stable. (C) 2015 Elsevier Inc. All rights reserved.

Elsevier2015

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