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Concept
Convolution de Dirichlet
Résumé
En mathématiques, la convolution de Dirichlet, encore appelée produit de convolution de Dirichlet ou produit de Dirichlet est une loi de composition interne définie sur l'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des fonctions définies sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans les nombres complexes. Cette loi de convolution est utilisée en arithmétique, aussi bien algébrique qu'analytique. On la trouve aussi pour résoudre des questions de dénombrement.
Dirichlet développe ce produit en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique.
Dans toute la suite de l'article, on notera
F l'ensemble des fonctions arithmétiques et, parmi celles-ci,
δ la fonction indicatrice du singleton {1} : δ(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δ(n) = 0,
1 la fonction constante 1 : 1(n) = 1,
Id l'application identité : Id(n) = n.
Soient deux fonctions définies sur les entiers strictement positifs à valeurs complexes. La convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques ƒ et g est la fonction ƒ ✻ g définie par :
où « d|n » signifie que la somme porte sur tous les entiers positifs d diviseurs de n. On a donné deux expressions égales de , chacune sous la forme d'une somme. Dans la première, on considère tous les couples (a, b) d'entiers dont le produit fait n. Dans la deuxième, on fait une somme sur tous les diviseurs de n.
Toute fonction arithmétique g vérifie l'égalité :
L'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalité :.
L'ensemble F des fonctions arithmétiques, muni de l'addition et de la convolution de Dirichlet, forme un anneau intègre, c'est-à-dire que — outre le fait que F muni de l'addition est un groupe abélien — la loi interne ✻ est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition, il existe un élément neutre : δ, et si alors .
L'opérateur D : F → F défini par (où log est le logarithme dans n'importe quelle base) est une dérivation sur cet anneau.
L'anneau des fonctions arithmétiques n'est pas un corps.
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