Concept
Symbole de Legendre
Concepts associés (20)
Loi de réciprocité quadratique
En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801.
Symbole de Jacobi
vignette|Charles Jacobi, mathématicien à l'origine du symbole de Jacobi Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien prussien Charles Gustave Jacob Jacobi. C'est une généralisation du symbole de Legendre. Le symbole de Jacobi est défini pour tout entier relatif et tout entier naturel impair comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de : pour tout et tous nombres premiers impairs (non nécessairement distincts), Soient positifs impairs et entiers quelconques.
Théorie algébrique des nombres
En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de la théorie des nombres utilisant des outils issus de l'algèbre. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss. Ces ensembles sont équipés de deux lois — une addition et une multiplication — qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers relatifs : on parle d'anneaux.
Résidu quadratique
En mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, un entier naturel q est un résidu quadratique modulo n s'il possède une racine carrée en arithmétique modulaire de module n. Autrement dit, q est un résidu quadratique modulo n s'il existe un entier x tel que : Dans le cas contraire, on dit que q est un non-résidu quadratique modulo n Par exemple : modulo 4, les résidus quadratiques sont les entiers congrus à 2 ≡ 0 = 0 ou à (±1) = 1.
Critère d'Euler
En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le critère d'Euler est un théorème utilisé en théorie des nombres pour déterminer si un entier donné est un résidu quadratique (autrement dit, un carré) modulo un nombre premier. Soient un nombre premier différent de 2 et un entier premier avec . Si est un résidu quadratique modulo , alors . Si n'est pas un résidu quadratique modulo alors . Ce qui se résume, en utilisant le symbole de Legendre, par : La preuve repose sur le petit théorème de Fermat et sur le fait que dans un anneau intègre, un polynôme n'a jamais plus de racines que son degré.
Quartic reciprocity
Quartic or biquadratic reciprocity is a collection of theorems in elementary and algebraic number theory that state conditions under which the congruence x4 ≡ p (mod q) is solvable; the word "reciprocity" comes from the form of some of these theorems, in that they relate the solvability of the congruence x4 ≡ p (mod q) to that of x4 ≡ q (mod p). Euler made the first conjectures about biquadratic reciprocity. Gauss published two monographs on biquadratic reciprocity.
Lemme de Gauss (théorie des nombres)
Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi. Soient un nombre premier impair et un entier non divisible par . Alors où est le symbole de Legendre et est défini de la façon suivante : ou encore, de façon équivalente : La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de Gauss.
Nombre premier
vignette|Nombres naturels de zéro à cent. Les nombres premiers sont marqués en rouge. vignette|Le nombre 7 est premier car il admet exactement deux diviseurs positifs distincts. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur.
Test de primalité
vignette|Le 39e nombre premier de Mersenne découvert à ce jour pour un article sur la primalité Un test de primalité est un algorithme permettant de savoir si un nombre entier est premier. Le test le plus simple est celui des divisions successives : pour tester N, on vérifie s’il est divisible par l’un des entiers compris au sens large entre 2 et N-1. Si la réponse est négative, alors N est premier, sinon il est composé.
Symbole de Kronecker (théorie des nombres)
En théorie des nombres, le symbole de Kronecker, écrit comme ou , est une généralisation du symbole de Jacobi à tous les entiers . Il a été introduit par Leopold Kronecker en 1885. Soit être un entier non nul, factorisé comme où est une unité (c'est-à-dire ), et les sont premiers. Soit un entier. Le symbole Kronecker est défini par Pour impair, le nombre est tout simplement le symbole de Legendre habituel. On définit par Puisqu'il prolonge le symbole Jacobi, la quantité vaut simplement lorsque .