Courbe stable

En géométrie algébrique, une courbe stable est une courbe algébrique dont les singularités sont les plus simples possibles. Elles ont été introduites par Deligne et Mumford pour construire une compactification de l'espace de modules de courbes projectives lisses. Soit un corps algébriquement clos. Un point fermé d'une courbe algébrique (c'est-à-dire variété algébrique de dimension 1) sur est appelé un point double ordinaire si le complété formel de l'anneau local est isomorphe à la -algèbre . Par exemple, les courbes planes affines ; ont toutes les deux l'origine comme point double ordinaire. Un point double ordinaire s'obtient à partir d'une courbe lisse en identifiant deux points distinct : si est une courbe lisse affine (pas nécessairement connexe) associée à une algèbre , et si sont deux points fermés distincts dans , alors l'ensemble des tels que est une -algèbre de type fini, la variété algébrique qui lui est associée est une courbe, et le morphisme associé à l'inclusion envoie sur un même point qui est double ordinaire, et le morphisme est un isomorphisme en dehors de {}. Une autre caractérisation des points doubles ordinaires utilise la topologie étale. Le point est double ordinaire s'il existe un voisinage étale commun à et à . Plus concrètement, cela veut dire qu'il existe un anneau local noethérien et des homomorphismes d'anneaux plats et non-ramifiés et où est l'idéal maximal correspondant à l'origine. Soit une courbe algébrique sur un corps . On dit que est semi-stable si après extension des scalaires à la clôture algébrique , la courbe est réduite et n'a que des points doubles ordinaires comme points singuliers éventuels. On dit que est stable si de plus elle est projective sur et si est connexe, de groupe des automorphismes fini. Sur un corps algébriquement clos, une courbe stable est une courbe projective connexe réduite, de au moins égal à 2, à singularités doubles ordinaires, et telle que toute composante irréductible isomorphisme à la droite projective rencontre les autres composantes irréductibles en au moins 3 points.