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Concept
Fonction génératrice des moments
Résumé
En théorie des probabilités et en statistique, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire est la fonction M définie par
pour tout réel t tel que cette espérance existe. Cette fonction, comme son nom l'indique, est utilisée afin d'engendrer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire .
Si à X est associée une densité de probabilité continue , alors la fonction génératrice des moments est donnée par
En introduisant dans cette équation le développement en série entière de l'exponentielle, cette expression est équivalente à :
où la dernière égalité est obtenue par le théorème de convergence dominée, et où est le i-ème moment de .
Si la densité de probabilité n'est pas continue, la fonction génératrice des moments peut être obtenue par l'intégrale de Stieltjes :
où F est la fonction de répartition de .
Les expressions précédentes s'appliquent à des variables aléatoires. Dans le cas d'un vecteur aléatoire à composantes réelles, la fonction génératrice des moments est alors définie comme suit :
où est un vecteur et est le produit scalaire.
est la transformée bilatérale de Laplace de la densité de probabilité .
Si est une suite de variables aléatoires indépendantes (mais non nécessairement identiquement distribuées) et où , alors la densité de probabilité de est la convolution pondérée par les des densités de probabilité de chacun des et la fonction de génération des moments de est donnée par
Comme son nom le suggère, la fonction génératrice des moments est liée à la série génératrice (exponentielle) des moments. Pour que ce lien ait un sens il faut bien sûr que les moments soient tous finis et que leur série associée ait un rayon de convergence non nul. Sous ces conditions la fonction génératrice des moments est développable en série entière autour de 0 et les coefficients sont reliés aux moments. Le théorème suivant précise cette discussion.
Si les conditions du théorème sont satisfaites, ce dernier permet de calculer très aisément l'espérance et la variance d'une variable aléatoire dont on connaît la fonction génératrice des moments.
Source officielle
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