Concept

Fonction génératrice des moments

Résumé
En théorie des probabilités et en statistique, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire est la fonction M définie par :M_X(t) = \mathbb E\left(\operatorname e^{tX}\right), pour tout réel t tel que cette espérance existe. Cette fonction, comme son nom l'indique, est utilisée afin d'engendrer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire . Définition et calcul Si à ''X'' est associée une densité de probabilité continue , alors la fonction génératrice des moments est donnée par :M_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}\operatorname e^{tx} f(x),\mathrm dx. En introduisant dans cette équation le développement en série entière de l'exponentielle, cette expression est équivalente à : :M_X(t) = \int_\R\left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x),\mathrm dx ::: = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots, où la dernière égalité est obtenue par le théorème
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