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Concept
Matrice jacobienne
Résumé
En analyse vectorielle, la matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle en un point donné. Son nom vient du mathématicien Charles Jacobi. Le déterminant de cette matrice, appelé jacobien, joue un rôle important pour l'intégration par changement de variable et dans la résolution de problèmes non linéaires.
Soit F une fonction d'un ouvert de R à valeurs dans R. Une telle fonction est définie par ses m fonctions composantes à valeurs réelles : .
Les dérivées partielles de ces fonctions en un point M, si elles existent, peuvent être rangées dans une matrice à m lignes et n colonnes, appelée matrice jacobienne de F :
La case sur la ligne i et la colonne j contient qui est la dérivée partielle de la i-ème fonction composante fi selon la variable xj. Cette matrice est notée :
Pour i = 1, ... , m, la i-ème ligne de cette matrice est la transposée du vecteur gradient au point M de la fonction f, lorsque celui-ci existe.
La matrice jacobienne est également la matrice de la différentielle de la fonction, lorsque celle-ci existe.
On démontre que la fonction F est de classe C si et seulement si ses dérivées partielles existent et sont continues.
La composée F∘G de fonctions différentiables est différentiable, et sa matrice jacobienne s'obtient par la formule :
dont un cas particulier est la formule de dérivation de la composée de deux fonctions réelles d'une variable réelle, f et g :
Si m = n, alors la matrice jacobienne de F est une matrice carrée. Son déterminant det J est appelé le déterminant jacobien, ou jacobien. Dire que le jacobien est non nul revient donc à dire que la matrice jacobienne est inversible.
Une fonction F de classe C est inversible au voisinage de M avec une réciproque F de classe C si et seulement si son jacobien en M est non nul (théorème d'inversion locale). La matrice jacobienne de F se déduit alors de celle de F, par la formule
Le théorème de changement de variables dans les intégrales multiples fait intervenir la valeur absolue du jacobien.
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