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Concept
Dérivée partielle
Résumé
En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle.
La dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable est souvent notée .
Si est une fonction de et sont les accroissements infinitésimaux de respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de est :
Cette expression est la « différentielle totale » de , chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de .
Dans le cas où la fonction ne dépend que d'une seule variable, la dérivée et la dérivée partielle sont identiques : .
Considérons le volume d'un cône ; il dépend de la hauteur et du rayon de la base suivant la formule
La dérivée partielle de par rapport à est
Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante.
La dérivée partielle par rapport à est
et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.
On peut alors exprimer la façon dont varie le volume si à la fois le rayon et la hauteur du cône sont changés.
Le point est le sommet du cône et est un point du rayon de la base.
Les équations différentielles faisant intervenir des dérivées partielles, appelées équations aux dérivées partielles, se rencontrent dans de multiples contextes en sciences.
Les dérivées partielles sont définies à partir de limites. Leur définition est analogue à celle des dérivées « ordinaires », qu'elles généralisent.
Même si toutes les dérivées partielles existent en un point donné, la fonction peut ne pas être continue en ce point. On dispose toutefois d'une condition suffisante de différentiabilité — et, a fortiori, de continuité — d'une fonction en un point :
Par conséquent, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un ouvert alors la différentielle l'est aussi.
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