Espace réflexif | EPFL Graph Search

Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?

Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.

Découvrez-en plus sur les applications Graph.

En analyse fonctionnelle, un espace vectoriel normé est dit réflexif si l'injection naturelle dans son bidual topologique est surjective. Les espaces réflexifs possèdent d'intéressantes propriétés géométriques. Soit un espace vectoriel normé, sur ou . On note son dual topologique, c'est-à-dire l'espace (de Banach) des formes linéaires continues de dans le corps de base. On peut alors former le bidual topologique , qui est le dual topologique de . Il existe une application linéaire continue naturelle définie par pour tout dans et dans . Ainsi, envoie vers la forme linéaire continue sur donnée par l'évaluation en . Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, préserve la norme (soit encore ) et est donc injective. L'espace est alors dit réflexif si est bijective. Remarques. Cette définition implique que tout espace normé réflexif est de Banach, puisque est isomorphe à . L' est non réflexif, bien qu'isométriquement isomorphe à son bidual topologique (par un autre morphisme que ). Tout espace vectoriel normé de dimension finie n est réflexif. En effet son dual (qui coïncide avec le dual topologique puisque toute application linéaire est continue) a pour dimension n, qui est donc aussi la dimension du bidual, si bien que l'injection linéaire J est alors bijective. Tout espace de Hilbert est réflexif, de même que les espaces Lp pour 1 < p < ∞. De manière générale : tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif d'après le théorème de Milman-Pettis. Les espaces de suites c, l1 et l∞ ne sont pas réflexifs. L'espace C([0, 1]) non plus. Les espaces de Montel sont réflexifs, pour une définition de la réflexivité généralisant celle présentée ici seulement dans le cas normé. Si Y est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif X alors Y et X/Y sont réflexifs.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Concepts associés (42)

Cours associés (72)

Séances de cours associées (105)

MOOCs associés (9)

Espace de Hilbert

vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.

Espace réflexif

Espace de Fréchet

Un espace de Fréchet est une structure mathématique d'espace vectoriel topologique satisfaisant certains théorèmes relatifs aux espaces de Banach même en l'absence d'une norme. Cette dénomination fait référence à Maurice Fréchet, mathématicien français ayant participé notamment à la fondation de la topologie et à ses applications en analyse fonctionnelle. C'est dans ce dernier domaine que la structure des espaces de Fréchet se révèle particulièrement utile, notamment en fournissant une topologie naturelle aux espaces de fonctions infiniment dérivables et aux espaces de distributions.

MATH-502: Distribution and interpolation spaces

The goal of this course is to give an introduction to the theory of distributions and cover the fundamental results of Sobolev spaces including fractional spaces that appear in the interpolation theor

MATH-404: Functional analysis II

We introduce locally convex vector spaces. As an example we treat the space of test functions and the space of distributions. In the second part of the course, we discuss differential calculus in Bana

MATH-305: Introduction to partial differential equations

This is an introductory course on Elliptic Partial Differential Equations. The course will cover the theory of both classical and generalized (weak) solutions of elliptic PDEs.

Algèbre Linéaire (Partie 1)

Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.

Algèbre Linéaire (Partie 1)

Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.

Algèbre Linéaire (Partie 2)

Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.

Solutions faibles d'équations différentielles MATH-305: Introduction to partial differential equations

Explore les solutions faibles des équations différentielles et leurs propriétés.

Théorème de Cauchy-Lipschitz : exemples et applications MATH-105(a): Advanced analysis II

Explore des exemples et des applications du théorème de Cauchy-Lipschitz dans des séquences et des espaces de Banach.

Espaces Normés MATH-502: Distribution and interpolation spaces

Couvre les espaces normés, les espaces doubles, les espaces de Banach, les espaces de Hilbert, la convergence faible et forte, les espaces réflexifs et le théorème de Hahn-Banach.