Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Fibré tangent
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit :
où est l'espace tangent de M en x. Un élément de TM est donc un couple (x, v) constitué d'un point x de M et d'un vecteur v tangent à M en x.
Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de M. Sous cette topologie, il possède une structure de variété différentielle prolongeant celle de M ; c'est un espace fibré de base M, et même un fibré vectoriel.
Le fibré tangent apparait en particulier comme le domaine de définition de la dérivée d'une fonction différentiable sur M : si est une application différentiable entre deux variétés différentielles M et N, alors sa dérivée est une fonction .
Supposons que soit une sous-variété de classe (k ≥ 1) et de dimension d de ; on peut voir alors comme l'ensemble des couples formés d'un point et d'un vecteur tangent à en . (Passer à permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)
On obtient ainsi une sous-variété de classe et de dimension 2d de . En effet, pour tout point de , il existe un ouvert et une submersion (de classe ) tels que
On en déduit que
Mais l'application est une submersion de classe de dans
Exemple : Le fibré tangent au cercle apparaît ainsi comme la sous-variété
Il est difféomorphe au cylindre (voir ci-contre).
En dimensions supérieures, il devient plus difficile de visualiser les fibrés tangents ; ainsi pour une variété de dimension 2, le fibré tangent correspondant est une variété de dimension 4. Ainsi dans le cas du théorème de la boule chevelue, le fibré tangent à la sphère est non trivial.
On définit une topologie sur en tant qu'espace fibré en se donnant pour chaque ouvert de une trivialisation locale
où est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à en n'importe quel et pour chaque , appartient à l'espace tangent à en .
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.