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Concept
Fibré tangent
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit :
où est l'espace tangent de M en x. Un élément de TM est donc un couple (x, v) constitué d'un point x de M et d'un vecteur v tangent à M en x.
Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de M. Sous cette topologie, il possède une structure de variété différentielle prolongeant celle de M ; c'est un espace fibré de base M, et même un fibré vectoriel.
Le fibré tangent apparait en particulier comme le domaine de définition de la dérivée d'une fonction différentiable sur M : si est une application différentiable entre deux variétés différentielles M et N, alors sa dérivée est une fonction .
Supposons que soit une sous-variété de classe (k ≥ 1) et de dimension d de ; on peut voir alors comme l'ensemble des couples formés d'un point et d'un vecteur tangent à en . (Passer à permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)
On obtient ainsi une sous-variété de classe et de dimension 2d de . En effet, pour tout point de , il existe un ouvert et une submersion (de classe ) tels que
On en déduit que
Mais l'application est une submersion de classe de dans
Exemple : Le fibré tangent au cercle apparaît ainsi comme la sous-variété
Il est difféomorphe au cylindre (voir ci-contre).
En dimensions supérieures, il devient plus difficile de visualiser les fibrés tangents ; ainsi pour une variété de dimension 2, le fibré tangent correspondant est une variété de dimension 4. Ainsi dans le cas du théorème de la boule chevelue, le fibré tangent à la sphère est non trivial.
On définit une topologie sur en tant qu'espace fibré en se donnant pour chaque ouvert de une trivialisation locale
où est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à en n'importe quel et pour chaque , appartient à l'espace tangent à en .
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