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Concept
Fibré
Résumé
En mathématiques, un espace fibré est, intuitivement, un espace topologique qui est localement le produit de deux espaces — appelés la base et la fibre — mais en général pas globalement. Par exemple, le ruban de Möbius est un fibré de base un cercle et de fibre un segment de droite : il ressemble localement au produit d'un cercle par un segment, mais pas globalement comme le cylindre
Plus précisément, l'espace total du fibré est muni d'une projection continue sur la base, telle que la de chaque point soit homéomorphe à la fibre. Cette projection est a priori supposée localement triviale, c'est-à-dire que tout point de la base admet un voisinage dont la préimage s'identifie à un produit cartésien de ce voisinage et de la fibre, par le biais d'homéomorphismes appelés trivialisations ou cartes. Le passage d'une trivialisation à l'autre se fait au moyen d'un groupe d'homéomorphismes de la fibre appelé groupe de structure.
Cette notion généralise donc la projection d'un produit cartésien sur l'un de ses facteurs.
Un espace fibré peut se présenter comme la donnée d'une surjection continue (projection ou pied) entre deux espaces topologiques séparés et (espace total et base), d'un espace séparé (fibre) sur lequel agit un groupe topologique (groupe de structure) et d'un ensemble d'homéomorphismes (cartes) appelés trivialisations locales
où la famille décrit un recouvrement ouvert de , satisfaisant les conditions suivantes :
Les cartes commutent avec les projections :
Les changements de carte sont induits par des sections dans le groupe de structure, autrement dit pour tout couple de cartes (, ) définies sur un même ouvert × il existe une application continue de dans telle que :
L'ensemble des cartes est en général supposé maximal satisfaisant ces conditions, c'est-à-dire que tout homéomorphisme commutant avec les projections et compatible avec les autres cartes est aussi une carte.
Un fibré de fibre et de base se dit parfois « en sur ».
Un espace fibré est dit trivialisable s'il admet une carte ayant l'espace total pour image.
Source officielle
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