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Concept
Ouvert-fermé
Résumé
En topologie, un ouvert-fermé est un sous-ensemble d'un espace topologique X qui est à la fois ouvert et fermé. Il peut sembler contre-intuitif que de tels ensembles existent, puisqu'au sens usuel, « ouvert » et « fermé » sont antonymes. Mais au sens mathématique, ces deux notions ne sont pas mutuellement exclusives : une partie de X est dite fermée si son complémentaire dans X est ouvert, donc un ouvert-fermé est simplement un ouvert dont le complémentaire est aussi ouvert.
Exemples
Dans tout espace topologique X, l'ensemble vide et l'espace entier X sont tous deux des ouverts-fermés.
Un espace est discret si et seulement si toutes ses parties sont des ouverts-fermés.
Dans une partition d'un espace en ouverts, tous les éléments de la partition sont des ouverts-fermés, ainsi que toute réunion (éventuellement infinie) de tels éléments. Par exemple :
*dans l'espace X = 0, 1 ∪ ]2, 3[ (muni de la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ), les deux ouverts ]0, 1[ et ]2
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