Concept
Analyse constructive
Concepts associés (16)
Constructive set theory
Axiomatic constructive set theory is an approach to mathematical constructivism following the program of axiomatic set theory. The same first-order language with "" and "" of classical set theory is usually used, so this is not to be confused with a constructive types approach. On the other hand, some constructive theories are indeed motivated by their interpretability in type theories. In addition to rejecting the principle of excluded middle (), constructive set theories often require some logical quantifiers in their axioms to be set bounded, motivated by results tied to impredicativity.
Heyting arithmetic
In mathematical logic, Heyting arithmetic is an axiomatization of arithmetic in accordance with the philosophy of intuitionism. It is named after Arend Heyting, who first proposed it. Heyting arithmetic can be characterized just like the first-order theory of Peano arithmetic , except that it uses the intuitionistic predicate calculus for inference. In particular, this means that the double-negation elimination principle, as well as the principle of the excluded middle , do not hold.
Principe de Markov
vignette|250x250px|Une représentation artistique d'une machine de Turing. Le principe de Markov dit que s'il est impossible qu'une machine de Turing ne s'arrête pas, alors elle doit s'arrêter. Le principe de Markov, nommé d'après Andreï Markov Jr, est une déclaration d'existence conditionnelle pour laquelle il existe de nombreuses formulations, ainsi qu'il est discuté ci-dessous. Ce principe est utilisé dans la validité logique classique, mais pas dans les mathématiques intuitionniste constructives.
Mathématiques à rebours
Les mathématiques à rebours sont une branche des mathématiques qui pourrait être définie simplement par l'idée de « remonter aux axiomes à partir des théorèmes », contrairement au sens habituel (des axiomes vers les théorèmes). Un peu plus précisément, il s'agit d'évaluer la robustesse logique d'un ensemble de résultats mathématiques usuels en déterminant exactement quels axiomes sont nécessaires et suffisants pour les prouver. Le domaine a été créé par Harvey Friedman dans son article « Some systems of second order arithmetic and their use ».
Unzerlegbarkeit
Unzerlegbarkeit est le principe des mathématiques constructives qui dit que le continu, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels, n'admet aucune partition propre. Le mot signifie « indécomposabilité » en allemand, et l'adjectif correspondant est unzerlegbar. Ce fait fut établi par Brouwer en 1928 à partir de principes d'analyse intuitioniste, et suit aussi de la , voire de l'axiome de l'énumérabilité des fonctions. L'énoncé comparable dans l'analyse classique serait qu'une fonction continue des nombres réels dans {0,1} est constante.
Completeness of the real numbers
Completeness is a property of the real numbers that, intuitively, implies that there are no "gaps" (in Dedekind's terminology) or "missing points" in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a "gap" at each irrational value. In the decimal number system, completeness is equivalent to the statement that any infinite string of decimal digits is actually a decimal representation for some real number.
Effective topos
In mathematics, the effective topos introduced by captures the mathematical idea of effectivity within the framework. The topos is based on the partial combinatory algebra given by Kleene's first algebra . In Kleene's notion of recursive realizability, any predicate is assigned realizing numbers, i.e. a subset of . The extremal propositions are and , realized by and . However in general, this process assigns more data to a proposition than just a binary truth value.
Démonstration constructive
Une première vision d'une démonstration constructive est celle d'une démonstration mathématique qui respecte les contraintes des mathématiques intuitionnistes, c'est-à-dire qui ne fait pas appel à l'infini, ni au principe du tiers exclu. Ainsi, démontrer l'impossibilité de l'inexistence d'un objet ne constitue pas une démonstration constructive de son existence : il faut pour cela en exhiber un et expliquer comment le construire. Si une démonstration est constructive, on doit pouvoir lui associer un algorithme.
Limited principle of omniscience
In constructive mathematics, the limited principle of omniscience (LPO) and the lesser limited principle of omniscience (LLPO) are axioms that are nonconstructive but are weaker than the full law of the excluded middle. They are used to gauge the amount of nonconstructivity required for an argument, as in constructive reverse mathematics. These principles are also related to weak counterexamples in the sense of Brouwer. The limited principle of omniscience states : LPO: For any sequence , , ...
Intuitionnisme
L'intuitionnisme est une philosophie des mathématiques que L. E. J. Brouwer a élaborée au début du . Pour Brouwer, les mathématiques sont une libre création de l'esprit humain et tous les objets qu'elles manipulent doivent être accessibles à l'intuition. L'intuitionnisme a pour conséquence une profonde remise en cause des mathématiques, notamment en refusant l'infini actuel : un nombre réel ne peut être représenté comme une suite infinie de décimales qu'à la condition de disposer d'un moyen effectif de calculer chacune de ces décimales ; on parle alors de réel constructif.