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Topologie de Zariski

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Théorème de la base de Hilbert

In mathematics, specifically commutative algebra, Hilbert's basis theorem says that a polynomial ring over a Noetherian ring is Noetherian. If is a ring, let denote the ring of polynomials in the indeterminate over . Hilbert proved that if is "not too large", in the sense that if is Noetherian, the same must be true for . Formally, Hilbert's Basis Theorem. If is a Noetherian ring, then is a Noetherian ring. Corollary. If is a Noetherian ring, then is a Noetherian ring.

Espace affine

En géométrie, la notion d'espace affine généralise la notion d'espace issue de la géométrie euclidienne en omettant les notions d'angle et de distance. Dans un espace affine, on peut parler d'alignement, de parallélisme, de barycentre. Sous la forme qui utilise des rapports de mesures algébriques, qui est une notion affine, le théorème de Thalès et le théorème de Ceva sont des exemples de théorèmes de géométrie affine plane réelle (c'est-à-dire n'utilisant que la structure d'espace affine du plan réel).

Irreducible component

In algebraic geometry, an irreducible algebraic set or irreducible variety is an algebraic set that cannot be written as the union of two proper algebraic subsets. An irreducible component is an algebraic subset that is irreducible and maximal (for set inclusion) for this property. For example, the set of solutions of the equation xy = 0 is not irreducible, and its irreducible components are the two lines of equations x = 0 and y =0.

Espace projectif

En mathématiques, un espace projectif est le résultat d'une construction fondamentale qui consiste à rendre homogène un espace vectoriel, autrement dit à raisonner indépendamment des proportionnalités pour ne plus considérer que des directions. Par exemple, l'espace projectif réel de dimension n, P(R),ou RPn, est l'ensemble des droites vectorielles ou des directions de R ; formellement, c'est le quotient de R{0} par la relation d'équivalence de colinéarité. On peut munir ces espaces projectifs de structures additionnelles pour en faire des variétés.

Morphism of algebraic varieties

In algebraic geometry, a morphism between algebraic varieties is a function between the varieties that is given locally by polynomials. It is also called a regular map. A morphism from an algebraic variety to the affine line is also called a regular function. A regular map whose inverse is also regular is called biregular, and the biregular maps are the isomorphisms of algebraic varieties.

Generic point

In algebraic geometry, a generic point P of an algebraic variety X is, roughly speaking, a point at which all generic properties are true, a generic property being a property which is true for almost every point. In classical algebraic geometry, a generic point of an affine or projective algebraic variety of dimension d is a point such that the field generated by its coordinates has transcendence degree d over the field generated by the coefficients of the equations of the variety.

Algèbre graduée

vignette|Un organigramme de diverses structures algébriques et leurs relations les unes avec les autres. En mathématiques, en algèbre linéaire, on appelle algèbre graduée une algèbre dotée d'une structure supplémentaire, appelée graduation. Soit A une algèbre sur un corps (ou plus généralement sur un anneau) K. Une graduation sur A est la donnée d’une famille de sous-espaces vectoriels de A vérifiant : c'est-à-dire que . L’algèbre A est alors dite graduée (parfois N-graduée, comme cas particulier de la notion d'algèbre M-graduée pour un monoïde M).

Proj construction

In algebraic geometry, Proj is a construction analogous to the spectrum-of-a-ring construction of affine schemes, which produces objects with the typical properties of projective spaces and projective varieties. The construction, while not functorial, is a fundamental tool in scheme theory. In this article, all rings will be assumed to be commutative and with identity. Let be a graded ring, whereis the direct sum decomposition associated with the gradation.

Corps résiduel

Un corps résiduel d'un anneau commutatif R est le quotient de R par un idéal maximal. S'agissant d'un idéal maximal, l'anneau issu du quotient a une structure de corps. Le concept est avant tout utilisé en géométrie algébrique et en théorie algébrique des nombres, où l'on travaille le plus souvent avec un anneau local ou un anneau de valuation discrète, qui ne possède qu'un idéal maximal et permet donc de parler « du » corps résiduel. On peut opérer le quotient sur un anneau non commutatif, mais on obtient alors un corps gauche.

Quasi-projective variety

In mathematics, a quasi-projective variety in algebraic geometry is a locally closed subset of a projective variety, i.e., the intersection inside some projective space of a Zariski-open and a Zariski-closed subset. A similar definition is used in scheme theory, where a quasi-projective scheme is a locally closed subscheme of some projective space. An affine space is a Zariski-open subset of a projective space, and since any closed affine subset can be expressed as an intersection of the projective completion and the affine space embedded in the projective space, this implies that any affine variety is quasiprojective.