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Concept
Espace projectif
Résumé
En mathématiques, un espace projectif est le résultat d'une construction fondamentale qui consiste à rendre homogène un espace vectoriel, autrement dit à raisonner indépendamment des proportionnalités pour ne plus considérer que des directions. Par exemple, l'espace projectif réel de dimension n, P(R),ou RPn, est l'ensemble des droites vectorielles ou des directions de R ; formellement, c'est le quotient de R{0} par la relation d'équivalence de colinéarité. On peut munir ces espaces projectifs de structures additionnelles pour en faire des variétés.
L'idée sous-tendant cette construction remonte aux descriptions mathématiques de la perspective.
L'espace construit permet d'obtenir, à partir de l'algèbre linéaire, une géométrie aux énoncés très simples et généraux, la géométrie projective, qui avait déjà fait l'objet d'études importantes au avec d'autres modes d'introduction. Dans le cas du corps des réels, on fonde ainsi une extension de la géométrie affine donnant un sens à la notion de point ou droite à l'infini. Les espaces projectifs sont aussi utilisés sur le corps des nombres complexes pour obtenir une bonne théorie de l'intersection pour les variétés algébriques.
L'espace projectif possède une généralisation naturelle, la grassmannienne, qui consiste à considérer des sous-espaces vectoriels de dimension k au lieu de se limiter aux droites.
thumb|center|upright=3|Illustration par Albrecht Dürer du principe de la perspective linéaire : l'objet de l'espace ambiant est étudié à partir des rayons incidents depuis un point de référence.
Soit K un corps, non nécessairement commutatif, et E un espace vectoriel sur K. Il est possible de définir une relation d'équivalence sur E{0}, la colinéarité : deux vecteurs non nuls sont équivalents si et seulement s'ils engendrent la même droite vectorielle. L'espace projectif associé à E, noté P(E), est l'ensemble quotient pour cette relation d'équivalence ; c'est donc l'ensemble de toutes les droites vectorielles de E (privées du vecteur nul).
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