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Concept
Groupe abélien de type fini
Résumé
En mathématiques, un groupe abélien de type fini est un groupe abélien qui possède une partie génératrice finie. Autrement dit : c'est un module de type fini sur l'anneau Z des entiers relatifs. Par conséquent, les produits finis, les quotients, mais aussi les sous-groupes des groupes abéliens de type fini sont eux-mêmes de type fini. Un théorème de structure des groupes abéliens de type fini permet d'expliciter la liste complète de ces groupes à isomorphisme près ; il montre notamment que tout groupe abélien de type fini est un produit fini de groupes monogènes.
Un groupe abélien de type fini est un groupe abélien (c'est-à-dire un groupe dont la loi est commutative) de rang fini, c'est-à-dire engendré par une partie finie.
Les deux énoncés ci-dessous concernent les groupes de type fini, sans qu'il soit besoin de les supposer commutatifs, et sont très élémentaires :
Tout produit fini de groupes de type fini est de type fini.
Tout quotient d'un groupe de type fini est de type fini.
Une fois ces énoncés connus, on remarque que :
Le groupe (Z, +) est de type fini, engendré par l'élément 1.
Pour a entier strictement positif, (Z/aZ, +) est à son tour de type fini (et monogène, comme quotient).
Pour l entier strictement positif Zl est de type fini, comme produit direct.
Plus généralement, pour a1, a1,..., ak strictement positifs, et l positif ou nul, (Z/a1Z) x (Z/a2Z) x ... x (Z/akZ) x Zl est de type fini comme produit direct.
Comme indiqué plus bas dans l'article, ce dernier exemple décrit tous les groupes abéliens de type fini, en ce sens que tout groupe abélien de type fini est isomorphe à un groupe de la forme explicitée dans cet exemple.
Le groupe abélien (Q, +) des nombres rationnels n'est en revanche pas de type fini.
Puisque Z est un anneau noethérien, tout Z-module de type fini est noethérien, c'est-à-dire :
Tout sous-groupe d'un groupe abélien de type fini est de type fini.
Plus précisément, puisque Z est même principal, tout sous-groupe d'un groupe abélien libre de rang n est abélien libre de rang inférieur ou égal à n, donc :
Tout sous-groupe d'un groupe abélien engendré par n éléments admet une partie génératrice ayant au plus n éléments.
Source officielle
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