Univers constructibleEn mathématiques et en théorie des ensembles, l'univers constructible, ou l'univers constructible de Gödel, noté , est une classe d'ensembles qui peuvent entièrement être décrits en termes d'ensembles plus simples. Elle a été introduite en 1938 par Kurt Gödel dans son article sur . Il y montrait que cette classe est un de la théorie ZF et que l'axiome du choix et l'hypothèse généralisée du continu sont vrais dans ce modèle. Ceci prouve que ces deux propositions sont cohérentes avec les axiomes de ZF, à condition que ZF soit déjà cohérente.
Univers (logique)En mathématiques, et en particulier en théorie des ensembles et en logique mathématique, un univers est un ensemble (ou parfois une classe propre) ayant comme éléments tous les objets qu'on souhaite considérer dans un contexte donné. Structure (mathématiques) Dans de nombreuses utilisations élémentaires de la théorie des ensembles, on se place en réalité dans un ensemble général U (appelé parfois univers de référence), et les seuls ensembles considérés sont les éléments et les sous-ensembles de U ; c'est ce point de vue qui a amené Cantor à développer sa théorie en partant de U = R, l'ensemble des nombres réels.
Axiome de déterminationL'axiome de détermination est un axiome alternatif de la théorie des ensembles affirmant que certains jeux (au sens de la théorie des jeux) infinis sont déterminés. Cet axiome n'est pas compatible avec l'axiome du choix mais implique l'axiome du choix dénombrable pour les familles d'ensembles de réels et implique également une forme faible de l'hypothèse du continu.
UltraproduitEn mathématiques, un ultraproduit est une construction basée sur un ultrafiltre utilisée principalement en algèbre abstraite et en théorie des modèles (une branche de la logique mathématique) ; elle permet par exemple d'obtenir des extensions des réels, les nombres hyperréels, ayant les mêmes propriétés élémentaires que ceux-ci. La méthode générale de construction d'ultraproduits part d'un ensemble d'indices I, d'une structure Mi pour chaque élément i de I (toutes ayant la même signature), et d'un ultrafiltre U sur I.
Axiome de constructibilitéL'axiome de constructibilité est un des axiomes possibles de la théorie des ensembles affirmant que tout ensemble est constructible. Cet axiome est généralement résumé par = , où représente la classe des ensembles et est l’univers constructible, la classe des ensembles récursivement définissables via un langage approprié.
New FoundationsEn logique mathématique, New Foundations (NF) est une théorie des ensembles axiomatique introduite par Willard Van Orman Quine en 1937, dans un article intitulé « New Foundations for Mathematical Logic », et qui a connu un certain nombre de variantes. Pour éviter le paradoxe de Russell, le principe de compréhension est restreint aux formules stratifiées, une restriction inspirée de la théorie des types, mais où la notion de type est implicite.
Ensemble transitifEn mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble. Un ensemble X est dit transitif si tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) : ∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X) ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) : ∪X ⊂ X.
Grand cardinalEn mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un grand cardinal est un nombre cardinal transfini satisfaisant une propriété qui le distingue des ensembles constructibles avec l'axiomatique usuelle (ZFC) tels que א, א, etc., et le rend nécessairement plus grand que tous ceux-ci. L'existence d'un grand cardinal est donc soumise à l'acceptation de nouveaux axiomes. Un axiome de grand cardinal est un axiome affirmant qu'il existe un cardinal (ou parfois une famille de cardinaux) ayant une propriété de grand cardinal donnée.
Critical point (set theory)In set theory, the critical point of an elementary embedding of a transitive class into another transitive class is the smallest ordinal which is not mapped to itself. Suppose that is an elementary embedding where and are transitive classes and is definable in by a formula of set theory with parameters from . Then must take ordinals to ordinals and must be strictly increasing. Also . If for all and , then is said to be the critical point of . If is V, then (the critical point of ) is always a measurable cardinal, i.
Ultrafilter on a setIn the mathematical field of set theory, an ultrafilter on a set is a maximal filter on the set In other words, it is a collection of subsets of that satisfies the definition of a filter on and that is maximal with respect to inclusion, in the sense that there does not exist a strictly larger collection of subsets of that is also a filter. (In the above, by definition a filter on a set does not contain the empty set.) Equivalently, an ultrafilter on the set can also be characterized as a filter on with the property that for every subset of either or its complement belongs to the ultrafilter.
