Équation de Pell-Fermat

thumb|Pierre de Fermat (1601-1665) affirme que l'équation de Pell-Fermat possède toujours une infinité de solutions si m = ±1, sans savoir que Bhāskara II (1114-1185) avait fait de même. En mathématiques et plus précisément en arithmétique, l'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne polynomiale quadratique. Si n est un entier positif qui n'est pas un carré parfait et m un entier non nul, l'équation prend la forme suivante : Les solutions recherchées sont les solutions telles que x et y soient des valeurs entières. L'équation de Pell-Fermat est étudiée sous différentes formes par plusieurs civilisations comme la Grèce antique, l'Inde ou la civilisation arabe. La solution définitive est relativement tardive, elle est trouvée en Europe durant le . Une forme particulièrement étudiée est celle où le paramètre m est égal à ±1 (c'est-à-dire à 1 ou à –1). Plusieurs algorithmes permettent de déterminer une solution ; la méthode chakravala ou celle des fractions continues sont les plus célèbres. En France, cette équation est nommée Pell ou Pell-Fermat en l'honneur des mathématiciens John Pell et Pierre de Fermat. C'est à Leonhard Euler que l'on doit l'association du nom de Pell à cette équation, à la suite d'une confusion car ce mathématicien n'a pas travaillé sur cette équation. La traduction de la dénomination équation de Pell est d'usage général hors du monde francophone. L'article « Fraction continue d'un irrationnel quadratique » propose une méthode de résolution si m = ±1, ainsi que l'exemple pour n = 61. L'article Méthode chakravala propose une autre méthode comparable, plutôt plus simple et plus rapide, à la fois pour la théorie et la pratique. Les exemples n = 61, 83, 103 et 313 sont traités. L'histoire de l'équation de Pell-Fermat est particulièrement riche et ancienne. On cite parfois le problème des bœufs d'Hélios attribué à Archimède comme premier exemple d'équation de Pell-Fermat. Il n'est cependant pas certain qu'Archimède en soit l'auteur et que la relation avec ladite équation ait été faite.