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Concept
Théorème de Frobenius généralisé
Résumé
En mathématiques, diverses versions de théorèmes de Frobenius généralisés ont étendu progressivement le théorème de Frobenius de 1877. Ce sont des théorèmes d'algèbre générale qui classifient les algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif R des réels. Moyennant certaines restrictions, il n'y en a que quatre : R lui-même, C (complexes), H (quaternions) et O (octonions).
Toutes les algèbres sont ici implicitement supposées unifères, et leur unicité s'entend à isomorphisme près.
En 1877, Frobenius démontre que les trois seules R-algèbres associatives à division de dimension finie sont R , C et le corps non commutatif H des quaternions (découvert en 1843 par Hamilton).
Le théorème de Gelfand-Mazur, démontré en 1938 par Mazur, établit que l'hypothèse de finitude peut être remplacée par celle de l'existence d'une norme d'algèbre : les trois seules R-algèbres normées associatives à division sont encore R, C et H.
L'algèbre O des octonions (construite en 1845 par Cayley) est une algèbre à division qui n'entre pas dans cette catégorie, car elle n'est pas associative mais seulement alternative (x(xy) = xy et (yx)x = yx).
En 1898, Hurwitz prouve que les quatre seules R-algèbres à division de dimension finie munies d'une norme multiplicative (║xy║=║x║║y║) sont R, C, H et O. Hurwitz n'a démontré son théorème que dans le cas où la norme est de plus euclidienne. Mais le théorème est souvent cité dans les ouvrages modernes sans cette hypothèse, car elle s'avéra redondante, de même que l'hypothèse de finitude .
En 1930, Zorn obtient la même conclusion en remplaçant l'hypothèse d'existence d'une norme multiplicative par celle d'alternativité de l'algèbre.
En 1940, le topologue Hopf montre que la dimension (supposée finie) d'une R-algèbre à division (alternative ou pas) ne peut être qu'une puissance de 2.
En 1958, s'appuyant comme lui sur des considérations topologiques (dues en particulier à Bott), Kervaire et Milnor précisent son résultat : les quatre seules puissances de 2 possibles sont 1, 2, 4 et 8 (réalisées entre autres par les quatre algèbres déjà citées).
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