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Concept
Complexe simplicial
Résumé
thumb|Exemple d'un complexe simplicial.En mathématiques, un complexe simplicial est un objet géométrique déterminé par une donnée combinatoire et permettant de décrire certains espaces topologiques en généralisant la notion de triangulation d'une surface. Un tel objet se présente comme un graphe avec des sommets reliés par des arêtes, sur lesquelles peuvent se rattacher des faces triangulaires, elles-mêmes bordant éventuellement des faces de dimension supérieure, etc.
Cette structure est particulièrement utile en topologie algébrique, car elle facilite le calcul des groupes d'homologie de certains espaces comme les polyèdres et certaines variétés topologiques qui admettent une décomposition en complexe simplicial.
La structure de complexe simplicial est enrichie dans celle d'ensemble simplicial, puis généralisée par celle de CW-complexe en autorisant des rattachements de faces non combinatoires.
La définition de complexe simplicial géométrique fait appel à celle de simplexe affine. Dans un espace affine réel de dimension n, un simplexe est défini comme l'enveloppe convexe d'un ensemble de n+1 points dont aucun ne peut être obtenu comme barycentre des autres. Ces points sont appelés les sommets du simplexe. L'ensemble des sommets peut être déduit du simplexe comme étant l'ensemble de ses points extrémaux. Par exemple, un triangle ou un tétraèdre sont des simplexes, ayant respectivement 3 et 4 sommets. Un segment est aussi un simplexe dont les deux sommets sont ses extrémités.
Les faces d'un simplexe sont les enveloppes convexes des sous-ensembles des sommets. Le terme « face » comprend donc ici les sommets (singletons), les arêtes, les faces triangulaires et ainsi de suite en dimension supérieure.
Un complexe simplicial géométrique est un ensemble K de simplexes d'un espace affine tel que :
toutes les faces de chaque simplexe de K appartiennent aussi à K ;
l'intersection de deux simplexes non disjoints doit exactement être une de leurs faces communes. Elle est l'enveloppe convexe de leurs sommets communs.
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