Système intégrable

Résumé

En mécanique hamiltonienne, un système intégrable au sens de Liouville est un système qui possède un nombre suffisant de indépendantes. Lorsque le mouvement est borné, la dynamique est alors périodique ou quasi périodique. Définition Rappels de mécanique hamiltonienne Soit un système à N degrés de liberté qui est décrit à l'instant t par :

les N coordonnées généralisées { q_i(t) }_{i = 1, \dots, N}
les N moments conjugués { p_j(t) }_{j = 1, \dots, N}.

À chaque instant, les 2N coordonnées (q_i(t),p_j(t)) définissent un point dans l'espace des phases Γ = ℝ2N. L'évolution dynamique du système sous le flot hamiltonien se traduit par une courbe continue appelée orbite dans cet espace des phases. Un système hamiltonien invariant par translation dans le temps satisfait toujours à la conservation de l'énergie : \quad H(q_i(t),p_j(t)) \ = \ E de telle sorte que sa dynamique est en fait restrei

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_int%C3%A9grable

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Integrable Evolution Equations on Spaces of Tensor Densities and Their Peakon Solutions

Feride Tiglay

We study a family of equations defined on the space of tensor densities of weight lambda on the circle and introduce two integrable PDE. One of the equations turns out to be closely related to the inviscid Burgers equation while the other has not been identified in any form before. We present their Lax pair formulations and describe their bihamiltonian structures. We prove local wellposedness of the corresponding Cauchy problem and include results on blow-up as well as global existence of solutions. Moreover, we construct "peakon" and "multi-peakon" solutions for all lambda not equal 0, 1, and "shock-peakons" for lambda = 3. We argue that there is a natural geometric framework for these equations that includes other well-known integrable equations and which is based on V. Arnold's approach to Euler equations on Lie groups.

Springer Verlag2010

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A class of Neumann type systems and its application

Jinbing Chen

A class of Neumann type systems are derived separating the spatial and temporal variables for the 2+1 dimensional Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada (CDGKS) equation and the modified Korteweg-de Vries (mKdV) hierarchy. The Lax-Moser matrix of Neumann type systems is worked out, which generates a sequence of integrals of motion and a hyperelliptic curve of KdV type. We deduce the constrained Hamiltonians to put Neumann type systems into canonical Hamiltonian equations and further complete the Liouville integrability for the Neumann type systems. We also specify the relationship between Neumann type systems and infinite dimensional integrable systems (IDISs), where the involutivity solutions of Neumann type systems yield the finite parametric solutions of IDISs. From the Abel-Jacobi variables, the evolution behavior of Neumann type flows are shown on the Jacobian of a Riemann surface. Finally, the Neumann type flows are applied to produce some explicit solutions expressed by Riemann theta functions for the 2+1 dimensional CDGKS equation and the mKdV hierarchy.

International Press2012

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Generalized Euler-Poincar, Equations on Lie Groups and Homogeneous Spaces, Orbit Invariants and Applications

Feride Tiglay

We develop the necessary tools, including a notion of logarithmic derivative for curves in homogeneous spaces, for deriving a general class of equations including Euler-Poincar, equations on Lie groups and homogeneous spaces. Orbit invariants play an important role in this context and we use these invariants to prove global existence and uniqueness results for a class of PDE. This class includes Euler-Poincar, equations that have not yet been considered in the literature as well as integrable equations like Camassa-Holm, Degasperis-Procesi, mu CH and mu DP equations, and the geodesic equations with respect to right-invariant Sobolev metrics on the group of diffeomorphisms of the circle.

Springer Netherlands2011

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