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Concept
Nombre premier de Pierpont
Résumé
En arithmétique, les nombres premiers de Pierpont — nommés ainsi d'après James Pierpont — sont les nombres premiers de la forme 23 + 1, pour u et v deux entiers naturels.
On montre facilement que si v = 0 et u > 0, alors u doit être une puissance de 2, c'est-à-dire que 2 + 1 doit être un nombre de Fermat.
Par ailleurs, si v > 0 alors u doit être lui aussi non nul (car si v > 0 alors le nombre pair est strictement supérieur à 2 et par conséquent composé) donc le nombre de Pierpont est de la forme 6k + 1.
Les quinze premiers nombres de Pierpont sont 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257 et 433.
Andrew Gleason a conjecturé qu'il y a une infinité de nombres premiers de Pierpont. Ils ne sont pas particulièrement rares et il y a peu de restrictions par rapport à la factorisation algébrique ; il n'y a donc pas de conditions comme la primalité de l'exposant dans les nombres de Mersenne premiers. Il y a 36 nombres premiers de Pierpont inférieurs à 10, 59 inférieurs à 10, 151 inférieurs 10 et 789 inférieurs à 10 ; conjecturellement, il y a O(log N) premiers de Pierpont plus petits que N, en comparaison de la conjecture O(log log N) premiers de Mersenne plus petits que N.
Dans le cadre de la recherche internationale de facteurs premiers de nombres de Fermat, des nombres premiers de Pierpont ont été annoncés comme tels. La table suivante donne des valeurs de m, v et u tels que
De 2008 à 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2 + 1, dont la primalité fut prouvée par en 2003 avec un logiciel de Paul Jobling, George Woltman, et Yves Gallot. En 2014, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2 + 1, mais il ne fait pas partie de la liste des diviseurs connus d'un nombre de Fermat.
En mathématiques des origamis, les axiomes de Huzita définissent six des sept types de pliage possibles. Ces pliages sont suffisants pour permettre de former n'importe quel polygone régulier dont le nombre de côtés est supérieur ou égal à 4 et de la forme 23ρ, où ρ est le produit de nombres premiers de Pierpont distincts.
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