Neuvième problème de HilbertLe neuvième problème de Hilbert est l'un des vingt-trois problèmes ouverts proposés comme défis du par David Hilbert au second congrès international des mathématiciens en 1900. Il consiste à généraliser la loi de réciprocité quadratique à tout corps de nombres algébriques. Il a été partiellement résolu, pour le cas (galoisien) abélien, au cours de la première moitié du siècle dans le cadre de ce qui est aujourd'hui connu sous le nom de théorie du corps de classes.
Reciprocity lawIn mathematics, a reciprocity law is a generalization of the law of quadratic reciprocity to arbitrary monic irreducible polynomials with integer coefficients. Recall that first reciprocity law, quadratic reciprocity, determines when an irreducible polynomial splits into linear terms when reduced mod . That is, it determines for which prime numbers the relationholds. For a general reciprocity lawpg 3, it is defined as the rule determining which primes the polynomial splits into linear factors, denoted .
Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Caractère de HeckeEn théorie des nombres, un caractère de Hecke est une généralisation d'un caractère de Dirichlet, introduit par Erich Hecke pour construire une classe de fonctions L plus importante que les fonctions L de Dirichlet, et un cadre naturel pour les fonctions zêta de Dedekind et certaines autres qui ont des fonctions fonctionnelles analogues à celle de la fonction zêta de Riemann. Un nom parfois utilisé pour le caractère Hecke est le terme allemand Größencharakter (souvent écrit Grössencharakter, Grossencharacter, etc.
Symbole de HilbertEn mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines , et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique. Le symbole de Hilbert (a, b) de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax + by = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K.
Modulus (algebraic number theory)In mathematics, in the field of algebraic number theory, a modulus (plural moduli) (or cycle, or extended ideal) is a formal product of places of a global field (i.e. an algebraic number field or a global function field). It is used to encode ramification data for abelian extensions of a global field. Let K be a global field with ring of integers R. A modulus is a formal product where p runs over all places of K, finite or infinite, the exponents ν(p) are zero except for finitely many p.
Ray class fieldIn mathematics, a ray class field is an abelian extension of a global field associated with a ray class group of ideal classes or idele classes. Every finite abelian extension of a number field is contained in one of its ray class fields. The term "ray class group" is a translation of the German term "Strahlklassengruppe". Here "Strahl" is German for ray, and often means the positive real line, which appears in the positivity conditions defining ray class groups.
Théorème de densité de TchebotariovEn théorie algébrique des nombres, le théorème de Tchebotariov, dû à Nikolai Tchebotariov et habituellement écrit théorème de Chebotarev, précise le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet sur l'infinitude des nombres premiers en progression arithmétique : il affirme que, si a, q ≥ 1 sont deux entiers premiers entre eux, la densité naturelle de l'ensemble des nombres premiers congrus à a modulo q vaut 1/φ(q). Le cadre du théorème de Tchebotariov est le suivant : on considère une extension galoisienne de corps de nombres, de groupe de Galois .
Anneau adéliqueEn mathématiques et dans la théorie des nombres, l'anneau adélique, ou anneau des adèles, est un anneau topologique contenant le corps des nombres rationnels (ou, plus généralement, un corps de nombres algébriques), construit à l'aide de toutes les complétions du corps. Le mot « adèle » est une abréviation pour « additive idele » (« idèle additive »). . Les adèles étaient appelées vecteurs de valuation ou répartitions avant 1950.
Programme de LanglandsEn mathématiques, le programme de Langlands est encore, au début du , un domaine de recherche actif et fertile en conjectures. Ce programme souhaite relier la théorie des nombres aux représentations de certains groupes. Il a été proposé par Robert Langlands en 1967. La première étape du programme, réalisée bien avant les travaux de Langlands, peut être vue comme la théorie des corps de classes.
