Convergence inconditionnelle

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (x) une suite d'éléments de X. On dit que la série ∑ x converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente si, pour toute permutation σ : N → N, la série converge dans X. Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie. Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement. Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes : Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que : En posant J = ∅ et, pour tout entier naturel n, J = J ∪ K(J), on obtient une partition de N par les K(J). Il existe une permutation de N dans laquelle les éléments de chaque K(J) deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy.