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Concept
Méthode de Galerkine
Résumé
En mathématiques, dans le domaine de l'analyse numérique, les méthodes de Galerkine sont une classe de méthodes permettant de transformer un problème continu (par exemple une équation différentielle) en un problème discret. Cette approche est attribuée aux ingénieurs russes Ivan Boubnov (1911) et Boris Galerkine (1913).
Cette méthode est couramment utilisée dans la méthode des éléments finis.
On part de la formulation faible du problème. La solution appartient à un espace fonctionnel satisfaisant des propriétés de régularité bien définies.
La méthode de Galerkine consiste à utiliser un maillage du domaine d'étude, et considérer la restriction de la fonction solution sur chacune des mailles.
D'un point de vue plus formel, on écrit la formulation faible sous la forme :
Trouver telle que
où a est une forme bilinéaire, et L une forme linéaire.
L'ensemble V étant généralement de dimension infinie, on construit un espace avec , et on réécrit le problème de la façon suivante :
Trouver telle que
Typiquement, l'espace considéré est l'ensemble des fonctions continues telles que la restriction de la fonction sur une maille soit un polynôme.
thumb|L'erreur est montrée ici orthogonale à l'espace d'approximation
L'une des propriétés notables des méthodes de Galerkine se trouvent dans le fait que l'erreur commise sur la solution est orthogonale aux sous-espaces d'approximation. En effet, les propriétés de la forme bilinéaire a donnent :
Du fait que l'espace d'approximation utilisé est de dimension finie , on peut décomposer la solution du problème de Galerkine sur une base de fonctions de :
Ainsi, en écrivant le problème en choisissant l'une des fonctions de base , il vient :
On obtient ainsi un système d'équations linéaires de la forme , en notant
,
Il apparait que si la forme bilinéaire a est symétrique, la matrice A est également symétrique. De même, A est une matrice positive (définie positive) si a l'est également.
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