Formule de Machin

alt=Extrait du Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) de William Jones, présentant la série de John Machin.|vignette|upright=2|Extrait du Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) de William Jones, présentant la série de John Machin. La formule de Machin fut découverte en 1706 par John Machin et relie le nombre π à la fonction trigonométrique arctangente : Cette formule permet de calculer une approximation du nombre π grâce au développement en série entière de la fonction arctangente. John Machin l'utilisa pour obtenir les cent premières décimales de π. On peut démontrer la formule de Machin en utilisant l'identité trigonométrique Une façon moderne de présenter le résultat est de le relier aux propriétés des nombres complexes. La formule de Machin découle alors de l'identité suivante entre nombres complexes : En effet, on peut montrer l'équivalence suivante : Ceci permet de conclure en remarquant que l'on peut encore remplacer par et en vérifiant que est strictement compris entre et . Le développement de arctan en série entière fournit la méthode de calcul suivante : D'autres formules du même type ont été découvertes, et on appelle « formules du type de Machin » les formules de la forme : où les et les sont des entiers. Il n'existe que trois autres formules du type de Machin avec deux termes seulement. Elles ont été découvertes respectivement par Euler, Hermann et Hutton (1776, utilisée par Vega en 1789) : Elles découlent respectivement des identités suivantes entre nombres complexes : Il est en fait possible de construire une infinité de formules de ce type en utilisant plus de termes, mais seules les formules les plus efficaces historiquement pour calculer le nombre sont devenues célèbres. La recherche de formules de Machin efficaces se fait désormais systématiquement à l'aide d'ordinateurs. Les formules les plus efficaces du type de Machin actuellement connues pour calculer π sont : Il existe d'autres formules qui convergent plus rapidement vers π, comme la formule de Ramanujan, mais elles ne sont pas du type de Machin.

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (1)

Concepts associés (3)

Séances de cours associées (16)

Systems and methods for energy-efficient measurement of neurophysiological oscillations

Mahsa Shoaran, Uisub Shin

A system for measuring synchrony between two or more regions, or within a single region, of a subject's brain. The system can include a signal conditioning module in communication with a phase extraction module. The signal conditioning module can receive a ...

2022

Fraction continue généralisée

En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1. Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques : où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.

vignette|Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π. π (pi), appelé parfois constante d’Archimède, est un nombre représenté par la lettre grecque du même nom en minuscule (π). C’est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. On peut également le définir comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Sa valeur approchée par défaut à moins de 0,5×10 près est en écriture décimale.

Fonction circulaire réciproque

Les fonctions circulaires réciproques, ou fonctions trigonométriques inverses, sont les fonctions réciproques des fonctions circulaires, pour des intervalles de définition précis. Les fonctions réciproques des fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante et cosécante sont appelées arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante et arc cosécante. Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter les primitives de certaines fonctions.

Gradient et Taylor Formula MATH-106(e): Analysis II

Introduit gradient, Laplacian, Taylor formule, approximations polynomiales, extrema, et Taylor séries expansions dans de multiples variables.

Image des fonctions composites

Analyse les ensembles d'images des fonctions composites sur [1, ], en déduisant l'ensemble d'images final comme [2/2, 1) fermé à gauche, ouvert à droite.

Interprétation de la formule de Taylor : un exemple MOOC: Analyse I

Couvre l'interprétation de la formule de Taylor à travers un exemple, se concentrant sur le développement de séries limitées pour sin(x) autour de a=0.