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Concept
Indépendance (probabilités)
Résumé
vignette|Paire de dés
L'indépendance est une notion probabiliste qualifiant de manière intuitive des événements aléatoires n'ayant aucune influence l'un sur l'autre. Il s'agit d'une notion très importante en statistique et en théorie des probabilités.
Par exemple, la valeur d'un premier lancer de dés n'a aucune influence sur la valeur du second lancer. De même, pour un lancer, le fait dobtenir une valeur inférieure ou égale à quatre n'influe en rien sur la probabilité que le résultat soit pair ou impair : les deux événements sont dits indépendants.
L'indépendance ou non de deux événements n'est pas toujours facile à établir.
La définition mathématique de l'indépendance de deux événements est la suivante :
La définition mathématique ci-dessus est assez peu parlante. Le lien entre le concept intuitif d'indépendance et la ci-dessus apparaît plus clairement si l'on introduit la notion de probabilité conditionnelle :
En excluant les cas particuliers peu intéressants où est impossible, i.e. dans le cas où et où est certain, i.e. dans le cas où on peut alors reformuler la définition de l'indépendance de la manière suivante
Ainsi les événements et sont dits indépendants si notre pronostic sur l'événement est le même :
si on sait que l'événement s'est produit (pronostic ),
si on sait que l'événement ne s'est pas produit (pronostic ),
si on ne sait rien sur le statut de l'événement (pronostic ).
Autrement dit, est dit indépendant de si notre pronostic sur l'événement n'est affecté par aucune information concernant , ni par l'absence d'information concernant . On peut échanger les rôles de et de dans la définition utilisant les probabilités conditionnelles, à condition bien sûr d'exclure les cas particuliers peu intéressants où est impossible, et où est certain.
Bien que la définition utilisant les probabilités conditionnelles soit plus intuitive, elle a l'inconvénient d'être moins générale, et de ne pas faire jouer un rôle symétrique aux deux événements et .
Notons par ailleurs qu'un événement certain est indépendant de tout événement quel qu'il soit.
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