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Concept
Poids (théorie des représentations)
Résumé
Dans le domaine mathématique de la théorie des représentations, un poids d'une algèbre A sur un corps F est un morphisme d'algèbres de A vers F ou, de manière équivalente, une représentation de dimension un de A sur F. C'est l'analogue algébrique d'un caractère multiplicatif d'un groupe. L'importance du concept découle cependant de son application aux représentations des algèbres de Lie et donc aussi aux représentations des groupes algébriques et des groupes de Lie. Dans ce contexte, un poids d'une représentation est une généralisation de la notion de valeur propre, et l'espace propre correspondant est appelé un espace de poids.
Étant donné un ensemble S de matrices sur un même corps, dont chacune est diagonalisable et dont deux quelconques commutent, il est toujours possible de diagonaliser simultanément tous les éléments de S. De manière équivalente, pour tout ensemble S d'endomorphismes linéaires diagonalisables d'un espace vectoriel de dimension finie V qui commutent entre eux, il existe une base de V constituée de vecteurs propres communs à tous les éléments de S. Chacun de ces vecteurs propres v ∈ V définit une forme linéaire sur la sous-algèbre U de End(V) engendrée par l'ensemble des endomorphismes S ; cette forme linéaire est définie comme l'application qui à chaque élément de U associe sa valeur propre sur le vecteur propre v. Cette application est également multiplicative et envoie l'identité sur 1 ; c'est donc un morphisme d'algèbres de U vers le corps de base. Cette « valeur propre généralisée » est un prototype de la notion de poids.
La notion est étroitement liée à l'idée d'un caractère multiplicatif en théorie des groupes, qui est un homomorphisme χ d'un groupe G sur le groupe multiplicatif d'un corps F. Ainsi χ : G → F× satisfait à χ(e) = 1 (où e est l'élément d'identité de G ) et
pour tous g, h dans G.
En effet, si G agit sur un espace vectoriel V sur F, chaque espace propre commun à tous les éléments de G, s'il existe, détermine un caractère multiplicatif sur G : la valeur propre sur cet espace propre commun de chaque élément du groupe.
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