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Concept
Représentation d'algèbre de Lie
Résumé
En mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur.
Algèbre de Lie
Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes :
Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne. Un autre exemple, fondamental pour ce qui suit, est le suivant. Soit V un espace vectoriel sur K. L'espace vectoriel End(V) des endomorphismes de V peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant : . On note également l'algèbre de Lie ainsi obtenue. Lorsque V est de dimension finie n, s'identifie aux matrices de taille à coefficient dans K. On la note alors .
Une sous-algèbre de Lie de est un sous-espace vectoriel de stable par le crochet de Lie, i.e. tel que .
Exemples
Si est une algèbre de Lie abélienne alors tout sous-espace vectoriel de est automatiquement une sous-algèbre de Lie.
Le sous-espace vectoriel de formé des matrices de trace nulle est une sous-algèbre de Lie de car pour toutes matrices A et B. Cette sous-algèbre est notée .
Un idéal d'une algèbre de Lie est un sous-espace vectoriel de tel que . Tout idéal d'une algèbre de Lie est en particulier une sous-algèbre de Lie (mais la réciproque est fausse).
Exemples
Si est une algèbre de Lie abélienne alors tout sous-espace vectoriel de est automatiquement un idéal.
La sous-algèbre de Lie de est un idéal.
Un morphisme entre deux algèbres de Lie et est une application linéaire telle que . Le noyau d'un morphisme d'algèbres de Lie est alors un idéal de l'algèbre de Lie source et l'image une sous-algèbre de Lie de l'algèbre de Lie but. Un isomorphisme entre deux algèbres de Lie est un morphisme d'algèbres de Lie qui est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Source officielle
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