Algèbre de compositionEn mathématiques, les algèbres de composition sur un corps commutatif sont des structures algébriques qui généralisent simultanément le corps des nombres complexes, le corps non commutatif des quaternions de Hamilton et l'algèbre des octonions de Cayley. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque), et les algèbres ne sont pas supposées être associatives ni – a priori du moins – de dimension finie.
Symbole de HilbertEn mathématiques, le symbole de Hilbert est une application algébrique permettant de tester les solutions de certaines équations algébriques, particulièrement dans les corps de nombres p-adiques, mais aussi un objet permettant de formuler certaines , et intéressant pour la théorie des corps de classes ; enfin, c'est un cas particulier de la notion de symbole sur un corps, qui est un concept important en K-théorie algébrique. Le symbole de Hilbert (a, b) de deux éléments non nuls a et b d'un corps K est 1 ou –1, suivant que l'équation ax + by = 1 admet ou non une solution (x, y) dans K.
Central simple algebraIn ring theory and related areas of mathematics a central simple algebra (CSA) over a field K is a finite-dimensional associative K-algebra A which is simple, and for which the center is exactly K. (Note that not every simple algebra is a central simple algebra over its center: for instance, if K is a field of characteristic 0, then the Weyl algebra is a simple algebra with center K, but is not a central simple algebra over K as it has infinite dimension as a K-module.
BiquaternionEn mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au . William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente. biquaternion de Clifford Il y a aussi une autre notion de biquaternions, distincte : une algèbre de biquaternions sur un corps commutatif K est une algèbre qui est isomorphe au produit tensoriel de deux algèbres de quaternions sur K (sa dimension est 16 sur K, et non pas 8 sur R).
Groupe de BrauerEn mathématiques, le groupe de Brauer, nommé d'après Richard Brauer, constitue l'espace classifiant des algèbres centrales simples sur un corps commutatif k donné, pour une certaine relation d'équivalence. On munit cet espace d'une structure de groupe abélien en l'identifiant à un espace de cohomologie galoisienne. Une algèbre centrale simple sur un corps commutatif k, est une algèbre associative de dimension finie A, qui n'admet aucun idéal bilatère non trivial (simplicité), et dont le centre est k (centralité).
Matrix ringIn abstract algebra, a matrix ring is a set of matrices with entries in a ring R that form a ring under matrix addition and matrix multiplication . The set of all n × n matrices with entries in R is a matrix ring denoted Mn(R) (alternative notations: Matn(R) and Rn×n). Some sets of infinite matrices form infinite matrix rings. Any subring of a matrix ring is a matrix ring. Over a rng, one can form matrix rngs. When R is a commutative ring, the matrix ring Mn(R) is an associative algebra over R, and may be called a matrix algebra.
Quaternionvignette|Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres plus vastes où la multiplication n'est cette fois-ci plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur.
Algèbre de CliffordEn mathématiques, l'algèbre de Clifford est un objet d'algèbre multilinéaire associé à une forme quadratique. C'est une algèbre associative sur un corps, permettant un type de calcul étendu, englobant les vecteurs, les scalaires et des « multivecteurs » obtenus par produits de vecteurs, et avec une règle de calcul qui traduit la géométrie de la forme quadratique sous-jacente. Le nom de cette structure est un hommage au mathématicien anglais William Kingdon Clifford.
Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
