Espace vectoriel symplectique

Résumé

En algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire alternée et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même. Les espaces vectoriels symplectiques servent de modèles pour définir les variétés symplectiques, étudiées en géométrie symplectique. Ces dernières sont le cadre naturel de la mécanique hamiltonienne. Un espace vectoriel préhilbertien complexe est automatiquement muni d'une structure symplectique en tant qu'espace vectoriel réel. En termes de variétés, l'analogue est la notion de variété kählérienne. Définition Soit V un espace vectoriel sur le corps des réels (le cas général sera présenté ci-dessous). Une forme symplectique sur V

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel_symplectique

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A b-symplectic slice theorem

Anna Kiesenhofer

In this article, motivated by the study of symplectic structures on manifolds with boundary and the systematic study of b-symplectic manifolds started in Guillemin, Miranda, and Pires Adv. Math. 264 (2014), 864-896, we prove a slice theorem for Lie group actions on b-symplectic manifolds.

WILEY2022

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G-Chaplygin Systems With Internal Symmetries, Truncation, And An (Almost) Symplectic View Of Chaplygin'S Ball

Simon Hochgerner

Via compression ([18,8]) we write the n-dimensional Chaplygin sphere system as an almost Hamiltonian system on TSO (n) with internal symmetry group SO (n-1). We show how this symmetry group can be factored out, and pass to the fully reduced system on (a fiber bundle over) TSn-1. This approach yields an explicit description of the reduced system in terms of the geometric data involved. Due to this description we can study Hamiltoniz-ability of the system. It turns out that the homogeneous Chaplygin ball, which is not Hamiltonian at the TSO (n)-level, is Hamiltonian at the TSn-1-level. Moreover, the 3-dimensional ball becomes Hamiltonian at the T*S-2-level after time reparametrization, where by we re-prove a result of [4, 5] in symplecto-geometric terms. We also study compression followed by reduction of generalized Chaplygin systems.

2009

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A Global Version Of The Darboux Theorem With Optimal Regularity And Dirichlet Condition

Bernard Dacorogna, Olivier Kneuss

Let n > 2 be even; r >= 1 be an integer; 0 < alpha < 1; Omega be a bounded, connected, smooth, open set in R-n; and nu be its exterior unit normal. Let f, g is an element of C-r,C-alpha((Omega) over bar; Lambda(2)) be two symplectic forms (i.e., closed and of rank n) such that f-g is orthogonal to the harmonic fields with vanishing tangential part, nu boolean AND f,nu boolean AND g is an element of C-r+1,C-alpha(partial derivative Omega; Lambda(3)) and nu boolean AND f = v boolean AND g on partial derivative Omega. Moreover assume that tg + (1-t)f has rank n for every t is an element of [0, 1]. We will then prove the existence of a phi is an element of Diff(r+1,alpha)((Omega) over bar; (Omega) over bar )satisfying

2011

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