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Concept
Géométrie symplectique
Résumé
La géométrie symplectique est un domaine de la recherche mathématique, s'intéressant à l'origine à une formulation mathématique naturelle de la mécanique classique et développé avec une notion d'entrelacement entre la géométrie différentielle et les systèmes dynamiques, avec des applications en géométrie algébrique, en géométrie riemannienne et en géométrie de contact. Formellement, elle consiste en l'étude des 2-formes différentielles fermées non dégénérées — appelées formes symplectiques — sur les variétés différentielles.
L'adjectif symplectique fut introduit par Hermann Weyl (1885 – 1955) pour désigner le groupe symplectique , le groupe des automorphismes linéaires réels de conjuguant la multiplication par i à elle-même. Ce groupe était appelé « groupe du linéaire complexe » et une confusion était possible avec le groupe des automorphismes linéaires complexes. Hermann Weyl justifie son choix :
Plus exactement, l'adjectif « symplectique » est fondé sur la racine grecque , équivalent de la racine latine de complexus. La racine latine a donné le nom de complexité d'où dérive « nombre complexe », ce nom latin traduit l'idée d'entrelacement. En histoire naturelle, l'adjectif symplectique désigne « être entrelacé avec un autre corps ».
Par extension, l'adjectif symplectique a été utilisé dans l'appellation de formes symplectiques et de variétés symplectiques.
Le concept de structure symplectique est bien antérieur à l'introduction de la terminologie actuelle. Il émerge dans les années 1808 à 1810 dans les travaux de Joseph-Louis Lagrange et de son élève Siméon Denis Poisson sur la trajectoire des planètes. Ils entreprennent d'expliquer la variation lente des paramètres orbitaux des planètes du système solaire en tenant compte des interactions mutuelles de ces corps. En utilisant la terminologie actuelle, ils introduisent à cette occasion la forme symplectique associée à la variété décrivant les états du système et une opération fondamentale sur les fonctions : le crochet de Poisson.
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