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Concept
Variété symplectique
Résumé
En mathématiques, une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme différentielle de degré 2 fermée et non dégénérée, appelée forme symplectique. L'étude des variétés symplectiques relève de la géométrie symplectique. Les variétés symplectiques apparaissent dans les reformulations analytiques abstraites de la mécanique classique utilisant la notion de fibré cotangent d'une variété, notamment dans la reformulation hamiltonnienne, où les configurations d'un système forment une variété dont le fibré cotangent décrit l'espace des phases du système.
Toute fonction à valeurs réelles sur une variété symplectique définit un champ de vecteurs hamiltonien, dont les courbes intégrales sont solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Le champ de vecteurs hamiltonien décrit un difféomorphisme hamiltonien sur la variété symplectique. Par le théorème de Liouville, ce flot hamiltonien préserve la forme volume.
La notion de variété symplectique, et donc de géométrie symplectique, reviendrait à Jean-Marie Souriau en 1953.
Suivant Souriau, la forme symplectique s'appellerait historiquement la forme de Lagrange, ou encore les crochets de Lagrange.
Plus précisément, le crochet de Poisson de deux fonctions définies sur l'espace des phases peut s'écrire comme où est le tenseur contravariant de Poisson.
Son tenseur inverse est le tenseur covariant de Lagrange, ce qui correspond aux composantes du crochet de Lagrange (i.e. aux composantes de la forme symplectique).
Soit , une variété différentielle de dimension finie. Une forme symplectique sur est une 2-forme différentielle qui est fermée (i.e. ) et non dégénérée (i.e. si est non nul, alors est non nul). Une variété symplectique est une variété différentielle munie d'une forme symplectique .
Proposition : Toute variété symplectique est de dimension réelle paire.
Fibre par fibre, la forme symplectique d'une variété symplectique induit une application linéaire bémol :
La propriété de non dégénérescence des formes symplectiques est équivalente à ce que cette dernière application linéaire soit injective.
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