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Concept
Dérivée de Lie
Résumé
La dérivée de Lie est une opération de différentiation naturelle sur les champs de tenseurs, en particulier les
formes différentielles, généralisant la dérivation directionnelle d'une fonction sur
un ouvert de ou plus généralement sur
une variété différentielle.
On note ici M une variété différentielle de dimension n, ΩM l'espace des formes différentielles sur M et X un champ de vecteurs sur M.
On peut définir la dérivée de Lie des formes différentielles sur M essentiellement de deux façons.
Soit une forme différentielle sur M de degré p. En chaque point x de M, on peut considérer que permet de donner une mesure des parallélogrammes formés de p vecteurs tangents à M en x. Lorsque l'on part de x et que l'on suit les lignes du champ X, cette mesure varie et la dérivée de Lie donne le taux de variation de cette mesure.
Soit le flot de X, c'est-à-dire la fonction telle que, pour tout x de M, , et pour t assez proche de 0, . L'expression représente la position à l'instant t d'une particule se trouvant en x à l'instant initial, et qui suit les lignes de champs à la vitesse X. Entre les instants 0 et t, la forme différentielle varie de à . Si ,, ..., sont des vecteurs tangents à M en x, les vecteurs correspondants en sont , , ..., , où désigne la différentielle en x de . La forme différentielle qui, en chaque x de M, associe aux vecteurs ,, ..., la quantité s'appelle de par , et est notée .
On définit alors la dérivée de Lie de la forme différentielle par :
On définit de même la dérivée de Lie d'un champ de tenseurs covariant K par :
Si est de degré 0, il s'agit d'une fonction numérique f différentiable de la variété différentielle M dans . Dans ce cas, n'est autre que . La règle de dérivation des fonctions composées donne :
C'est l'image du vecteur par la différentielle de f en x. Si la variété est munie d'une structure riemannienne, il est encore possible d'écrire ce calcul à l'aide du gradient de f :
En coordonnées locales, et en utilisant les conventions de sommation d'Einstein, on peut encore l'écrire ainsi :
On montre qu'il existe une unique application linéaire vérifiant les hypothèses suivantes :
Pour toute fonction f différentiable sur M à valeur réelles,
est une dérivation de l'algèbre , i.
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