Variété parallélisable

Une variété différentielle M de classe Ck est dite parallélisable si son fibré tangent est trivial, c'est-à-dire isomorphe, en tant que fibré vectoriel, à , où est un espace vectoriel de dimension Il revient au même de dire qu'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle telle que pour tout , est un isomorphisme d'espaces vectoriels ; ou encore qu'il existe champs de vecteurs linéairement indépendants en tout point de M, autrement dit un champ de repères. Un isomorphisme de fibrés vectoriels entre et s'appelle un parallèlisme. Comme toute variété est localement difféomorphe à , pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable. Il s'agit donc d'une propriété globale. Une variété parallélisable est orientable : un champ de repères fournit gratuitement une orientation. Si elle est compacte, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle, d'après le théorème de Poincaré-Hopf. Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable. C'est la seule variété compacte de dimension 2 parallélisable, puisque c'est la seule surface orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle. La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable, d'après le théorème de Poincaré-Hopf, ou plus simplement d'après le théorème de la boule chevelue, qui assure que tout champ de vecteurs sur admet un zéro au moins. Tout groupe de Lie est une variété parallélisable ; c'est en particulier le cas de la 3-sphère, en tant que groupe des unités des quaternions. L'exemple de est commun à deux situations plus générales : les seules sphères parallélisables sont R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87-89 ; toute variété orientable de dimension 3 est parallélisable. Fibré tangent Paul Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann Éditeur, 1972 Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles'', EDP Sciences, 2015, p.