Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Variété parallélisable
Résumé
Une variété différentielle M de classe Ck est dite parallélisable
si son fibré tangent est trivial, c'est-à-dire isomorphe, en tant que fibré vectoriel,
à , où est un espace vectoriel de dimension
Il revient au même de dire qu'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle telle que pour tout , est un isomorphisme d'espaces vectoriels ;
ou encore qu'il existe champs de vecteurs linéairement indépendants en tout point de M, autrement dit un champ de repères.
Un isomorphisme de fibrés vectoriels entre et s'appelle un parallèlisme.
Comme toute variété est localement difféomorphe à , pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable.
Il s'agit donc d'une propriété globale.
Une variété parallélisable est orientable : un champ de repères fournit gratuitement une orientation.
Si elle est compacte, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle, d'après le théorème de Poincaré-Hopf.
Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable.
C'est la seule variété compacte de dimension 2 parallélisable, puisque c'est la seule
surface orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle.
La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable,
d'après le théorème de Poincaré-Hopf, ou plus simplement d'après le théorème de la boule chevelue, qui assure
que tout champ de vecteurs sur admet un zéro au moins.
Tout groupe de Lie est une variété parallélisable ; c'est en particulier le cas de la 3-sphère, en tant que groupe des unités des quaternions.
L'exemple de est commun à deux situations plus générales :
les seules sphères parallélisables sont R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of spheres,
Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87-89 ;
toute variété orientable de dimension 3 est parallélisable.
Fibré tangent
Paul Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann Éditeur, 1972
Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles'', EDP Sciences, 2015, p.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.