Théorème de l'espérance totale

Le théorème de l'espérance totale est une proposition de la théorie des probabilités affirmant que l'espérance de l'espérance conditionnelle de X sachant Y est la même que l'espérance de X. Précisément, si X est une variable aléatoire intégrable (c'est-à-dire, une variable aléatoire avec E( | X | ) < ), Y est une variable aléatoire quelconque (donc pas nécessairement intégrable), Et X et Y sont définies sur le même espace probabilisé, on a alors le résultat suivant : L'espérance conditionnelle E( X | Y ) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de Y. À noter que l'espérance conditionnelle de X sachant l'événement [Y = y] est une fonction de y. Si on note E( X | Y = y) = g(y), alors la variable aléatoire E( X | Y ) est tout simplement g(Y). Un cas particulier de ce résultat est que, si les événements forment une partition (c'est-à-dire que ces événements sont deux à deux disjoints et que leur union forme l'univers), alors on a : Supposons que deux usines fabriquent des ampoules électriques. Les ampoules de l'usine X ont une durée de vie de 5000 heures, alors que ceux de l'usine Y fonctionnent en moyenne pendant 4000 heures. On dit que l'usine X fournit 60 % de toutes les ampoules disponibles. Combien de temps peut-on espérer qu'une ampoule achetée durera ? En utilisant le théorème de l'espérance totale, on a : où est la durée de vie espérée de l'ampoule; est la probabilité pour que l'ampoule achetée ait été fabriquée par l'usine X; est la probabilité pour que l'ampoule achetée ait été fabriquée par l'usine Y; est la durée de vie espérée d'une ampoule fabriquée par l'usine X; est la durée de vie espérée d'une ampoule fabriquée par l'usine Y. Ainsi, chaque ampoule achetée a une durée de vie espérée de 4600 heures, c'est-à-dire qu'on peut s'attendre "en moyenne" à ce qu'elle fonctionne 4600 heures. Plus formellement, l'énoncé dans le cas général fait appel à un espace probabilisé sur lequel deux sous -tribus sont définies.