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Concept
Théorème de l'espérance totale
Résumé
Le théorème de l'espérance totale est une proposition de la théorie des probabilités affirmant que l'espérance de l'espérance conditionnelle de X sachant Y est la même que l'espérance de X.
Précisément, si
X est une variable aléatoire intégrable (c'est-à-dire, une variable aléatoire avec E( | X | ) < ),
Y est une variable aléatoire quelconque (donc pas nécessairement intégrable),
Et X et Y sont définies sur le même espace probabilisé,
on a alors le résultat suivant :
L'espérance conditionnelle E( X | Y ) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de Y. À noter que l'espérance conditionnelle de X sachant l'événement [Y = y] est une fonction de y. Si on note E( X | Y = y) = g(y), alors la variable aléatoire E( X | Y ) est tout simplement g(Y).
Un cas particulier de ce résultat est que, si les événements forment une partition (c'est-à-dire que ces événements sont deux à deux disjoints et que leur union forme l'univers), alors on a :
Supposons que deux usines fabriquent des ampoules électriques. Les ampoules de l'usine X ont une durée de vie de 5000 heures, alors que ceux de l'usine Y fonctionnent en moyenne pendant 4000 heures. On dit que l'usine X fournit 60 % de toutes les ampoules disponibles. Combien de temps peut-on espérer qu'une ampoule achetée durera ?
En utilisant le théorème de l'espérance totale, on a :
où
est la durée de vie espérée de l'ampoule;
est la probabilité pour que l'ampoule achetée ait été fabriquée par l'usine X;
est la probabilité pour que l'ampoule achetée ait été fabriquée par l'usine Y;
est la durée de vie espérée d'une ampoule fabriquée par l'usine X;
est la durée de vie espérée d'une ampoule fabriquée par l'usine Y.
Ainsi, chaque ampoule achetée a une durée de vie espérée de 4600 heures, c'est-à-dire qu'on peut s'attendre "en moyenne" à ce qu'elle fonctionne 4600 heures.
Plus formellement, l'énoncé dans le cas général fait appel à un espace probabilisé sur lequel deux sous -tribus sont définies.
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