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Concept
Théorème de la variance totale
Résumé
En théorie des probabilités, le théorème de la variance totale ou formule de décomposition de la variance, aussi connu sous le nom de Loi d'Eve, stipule que si X et Y sont deux variables aléatoires sur un même espace de probabilité, et si la variance de Y est finie, alors
Certains auteurs appellent cette relation formule de variance conditionnelle. Dans un langage peut-être mieux connu des statisticiens que des spécialistes en probabilité, les deux termes sont respectivement les composantes "non-expliquée" et "expliquée" de la variance (cf. fraction de variance non expliquée, variation expliquée). En science actuarielle, en particulier en théorie de la crédibilité, le premier terme est appelé la valeur attendue de la variance du processus (EVPV) et le second est appelé variance des moyenne hypothétiques (VHM).
Il existe une formule générale de la décomposition de la variance pour c ≥ 2 composantes (voir ci-dessous). Par exemple, pour deux variables aléatoires conditionnantes :
ce qui découle du théorème de la variance totale :
Notons que l'espérance conditionnelle E(Y | X) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de X. L'espérance conditionnelle de Y sachant l'événement X = x est une fonction de x (il est important d'être rigoureux dans les notations utilisées en théorie des probabilités). Si on écrit E(Y | X = x ) = g(x) alors la variable aléatoire E(Y | X) est simplement g(X). On adapte cette remarque à la variance conditionnelle.
Un cas particulier remarquable (similaire à la formule des espérances totales) est celui où est une partition de l'espace ambiant, c'est-à-dire que ces événements sont deux à deux disjoints et que leur union est égale à tout l'espace. Alors, on a
Dans cette formule, le premier terme est l'espérance de la variance conditionnelle ; les deux autres lignes correspondent à la variance de l'espérance conditionnelle.
Le théorème de la variance totale peut être démontré en utilisant la formule des espérances totales.
Tout d'abord
par définition de la variance.
Source officielle
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