En théorie des probabilités, le théorème de la variance totale ou formule de décomposition de la variance, aussi connu sous le nom de Loi d'Eve, stipule que si X et Y sont deux variables aléatoires sur un même espace de probabilité, et si la variance de Y est finie, alors Certains auteurs appellent cette relation formule de variance conditionnelle. Dans un langage peut-être mieux connu des statisticiens que des spécialistes en probabilité, les deux termes sont respectivement les composantes "non-expliquée" et "expliquée" de la variance (cf. fraction de variance non expliquée, variation expliquée). En science actuarielle, en particulier en théorie de la crédibilité, le premier terme est appelé la valeur attendue de la variance du processus (EVPV) et le second est appelé variance des moyenne hypothétiques (VHM). Il existe une formule générale de la décomposition de la variance pour c ≥ 2 composantes (voir ci-dessous). Par exemple, pour deux variables aléatoires conditionnantes : ce qui découle du théorème de la variance totale : Notons que l'espérance conditionnelle E(Y | X) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de X. L'espérance conditionnelle de Y sachant l'événement X = x est une fonction de x (il est important d'être rigoureux dans les notations utilisées en théorie des probabilités). Si on écrit E(Y | X = x ) = g(x) alors la variable aléatoire E(Y | X) est simplement g(X). On adapte cette remarque à la variance conditionnelle. Un cas particulier remarquable (similaire à la formule des espérances totales) est celui où est une partition de l'espace ambiant, c'est-à-dire que ces événements sont deux à deux disjoints et que leur union est égale à tout l'espace. Alors, on a Dans cette formule, le premier terme est l'espérance de la variance conditionnelle ; les deux autres lignes correspondent à la variance de l'espérance conditionnelle. Le théorème de la variance totale peut être démontré en utilisant la formule des espérances totales. Tout d'abord par définition de la variance.

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Théorème de l'espérance totale
Le théorème de l'espérance totale est une proposition de la théorie des probabilités affirmant que l'espérance de l'espérance conditionnelle de X sachant Y est la même que l'espérance de X. Précisément, si X est une variable aléatoire intégrable (c'est-à-dire, une variable aléatoire avec E( | X | ) < ), Y est une variable aléatoire quelconque (donc pas nécessairement intégrable), Et X et Y sont définies sur le même espace probabilisé, on a alors le résultat suivant : L'espérance conditionnelle E( X | Y ) est elle-même une variable aléatoire, dont la valeur dépend de la valeur de Y.
Espérance conditionnelle
En théorie des probabilités, l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle donne la valeur moyenne de cette variable quand un certain événement est réalisé. Selon les cas, c'est un nombre ou alors une nouvelle variable aléatoire. On parle alors d'espérance d'une variable aléatoire conditionnée par un événement B est, intuitivement, la moyenne que l'on obtient si on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience liée à la variable aléatoire et que l'on ne retient que les cas où l'événement B est réalisé.
Formule des probabilités totales
vignette|Dans cet arbre de probabilité, la probabilité de l'événement B s'obtient en sommant les probabilités des chemins conduisant à la réalisation de B. En théorie des probabilités, la formule des probabilités totales est un théorème qui permet de calculer la probabilité d'un événement en le décomposant suivant un système exhaustif d'événements. Ce corollaire permet de ramener le calcul de au calcul des parfois plus facile, car l'évènement Bi, étant plus petit que l'évènement B, fournit une information plus précise, et facilite ainsi le pronostic (pronostic = calcul de la probabilité conditionnelle).
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