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Concept
Absolue continuité
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse, on définit, pour des fonctions définies sur un intervalle borné, la notion de fonction absolument continue, un peu plus forte que la notion de fonction uniformément continue, et garantissant de bonnes propriétés d'intégration ; on lui associe d'ailleurs la notion de mesure absolument continue.
Le premier théorème fondamental de l'analyse a pour conséquence que toute fonction continue sur un intervalle réel est égale à la dérivée de sa fonction intégrale (au sens de Riemann) définie par . Dans le cadre plus général de l'intégrale de Lebesgue, une fonction est égale presque partout à la dérivée de son intégrale.
Par contre, une fonction continue et presque partout dérivable peut ne pas être égale à l'intégrale de sa dérivée, même si cette dérivée est . Considérons par exemple l'escalier de Cantor ou la fonction de Minkowski : ces deux fonctions sont presque partout dérivables, de dérivée presque partout nulle ; donc l'intégrale de leur dérivée est nulle. Ce phénomène était bien connu dans le cas de fonctions discontinues (les fonctions indicatrices par exemple) mais moins intuitif dans le cas continu, ce qui a conduit à la notion de continuité absolue : une fonction absolument continue est continue et de plus égale à l'intégrale de sa dérivée.
Soit un intervalle réel. On dit qu'une fonction est absolument continue si, pour tout réel , il existe un tel que, pour toute suite finie de sous-intervalles de d'intérieurs disjoints,
Pour une fonction de plusieurs variables, il existe diverses notions de continuité absolue.
est absolument continue sur si et seulement s'il existe une fonction intégrable sur (au sens de Lebesgue) telle que pour tout ,
L'ensemble des fonctions absolument continues sur est égal à l'espace de Sobolev W(]a, b[).
D'après le second théorème fondamental de l'analyse, si (sur [a, b]) F est dérivable partout et de dérivée intégrable, alors F est absolument continue.
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