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En mathématiques, et plus précisément en analyse, on définit, pour des fonctions définies sur un intervalle borné, la notion de fonction absolument continue, un peu plus forte que la notion de fonction uniformément continue, et garantissant de bonnes propriétés d'intégration ; on lui associe d'ailleurs la notion de mesure absolument continue. Le premier théorème fondamental de l'analyse a pour conséquence que toute fonction continue sur un intervalle réel est égale à la dérivée de sa fonction intégrale (au sens de Riemann) définie par . Dans le cadre plus général de l'intégrale de Lebesgue, une fonction est égale presque partout à la dérivée de son intégrale. Par contre, une fonction continue et presque partout dérivable peut ne pas être égale à l'intégrale de sa dérivée, même si cette dérivée est . Considérons par exemple l'escalier de Cantor ou la fonction de Minkowski : ces deux fonctions sont presque partout dérivables, de dérivée presque partout nulle ; donc l'intégrale de leur dérivée est nulle. Ce phénomène était bien connu dans le cas de fonctions discontinues (les fonctions indicatrices par exemple) mais moins intuitif dans le cas continu, ce qui a conduit à la notion de continuité absolue : une fonction absolument continue est continue et de plus égale à l'intégrale de sa dérivée. Soit un intervalle réel. On dit qu'une fonction est absolument continue si, pour tout réel , il existe un tel que, pour toute suite finie de sous-intervalles de d'intérieurs disjoints, Pour une fonction de plusieurs variables, il existe diverses notions de continuité absolue. est absolument continue sur si et seulement s'il existe une fonction intégrable sur (au sens de Lebesgue) telle que pour tout , L'ensemble des fonctions absolument continues sur est égal à l'espace de Sobolev W(]a, b[). D'après le second théorème fondamental de l'analyse, si (sur [a, b]) F est dérivable partout et de dérivée intégrable, alors F est absolument continue.

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Escalier de Cantor

L'escalier de Cantor, ou l'escalier du diable, est le graphe d'une fonction f continue croissante sur [0, 1], telle que f(0) = 0 et f(1) = 1, qui est dérivable presque partout, la dérivée étant presque partout nulle. Il s'agit cependant d'une fonction continue, mais pas absolument continue. Soit f une fonction continue sur un intervalle I ⊂ R, de dérivée math|f '''. Si f ' est nulle sur I, alors f est constante. C'est une conséquence immédiate du théorème des accroissements finis.

Condition de Hölder

En analyse, la continuité höldérienne ou condition de Hölder — nommée d'après le mathématicien allemand Otto Hölder — est une condition suffisante, généralisant celle de Lipschitz, pour qu’une application définie entre deux espaces métriques soit uniformément continue. La définition s’applique donc en particulier pour les fonctions d’une variable réelle. Si (X, d) et (Y, d) sont deux espaces métriques, une fonction f : X → Y est dite a-höldérienne s’il existe une constante C telle que pour tous x, y ∈ X : La continuité höldérienne d’une fonction dépend donc d’un paramètre a ∈ ]0, 1].

Théorème fondamental de l'analyse

En mathématiques, le théorème fondamental de l'analyse (ou théorème fondamental du calcul différentiel et intégral) établit que les deux opérations de base de l'analyse, la dérivation et l'intégration, sont, dans une certaine mesure, réciproques l'une de l'autre. Il est constitué de deux familles d'énoncés (plus ou moins généraux selon les versions, et dépendant de la théorie de l'intégration choisie) : premier théorème : certaines fonctions sont « la dérivée de leur intégrale » ; second théorème : certaines fonctions sont « l'intégrale de leur dérivée ».

Analyse I

Le contenu de ce cours correspond à celui du cours d'Analyse I, comme il est enseigné pour les étudiantes et les étudiants de l'EPFL pendant leur premier semestre. Chaque chapitre du cours correspond

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