Algèbre enveloppante

En mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie . Il s'agit d'une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de . Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant . Une telle algèbre de Lie, où le crochet de Lie est identiquement nul, est appelée abélienne. Un autre exemple, fondamental pour ce qui suit, est le suivant. Soit V un espace vectoriel sur K. L'algèbre associative des endomorphismes de V peut être munie d'une structure d'algèbre de Lie, en posant : . On note également l'algèbre de Lie ainsi obtenue. Lorsque V est de dimension finie n, s'identifie aux matrices de taille à coefficient dans K. On la note alors . La construction d'une algèbre enveloppante répond au problème réciproque : à partir d'une algèbre de Lie , peut-on construire une algèbre associative dont le commutateur correspond au crochet de Lie de ? À partir de l'algèbre de Lie , on peut construire le produit tensoriel et plus généralement . On note par convention . On considère alors l'algèbre tensorielle de , définie par On note l'application canonique de dans . L'algèbre tensorielle satisfait une propriété universelle : pour toute application linéaire de dans une algèbre associative unitaire A, il existe un unique morphisme d'algèbres tel que et . Pour construire l'algèbre enveloppante, il faut encore tenir compte de la structure d'algèbre de Lie de . On veut donc forcer à être égal à . Plus formellement, soit J l'idéal bilatère engendré par les , pour . L'algèbre enveloppante est alors le quotient de par l'idéal J. L'injection canonique de dans fournit alors, par composition, un morphisme . Notons l'image de dans . Lorsque l'algèbre de Lie est de dimension finie, est un sous-espace vectoriel de dimension finie de .