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Concept
Théorème de Girsanov
Résumé
Dans la théorie des probabilités, le théorème de Girsanov indique comment un processus stochastique change si l'on change de mesure. Ce théorème est particulièrement important dans la théorie des mathématiques financières dans le sens où il donne la manière de passer de la probabilité historique qui décrit la probabilité qu'un actif sous-jacent (comme le prix d'une action ou un taux d'intérêt) prenne dans le futur une valeur donnée à la probabilité risque neutre qui est un outil très utile pour évaluer la valeur d'un dérivé du sous-jacent.
Des résultats de ce type ont été prouvés pour la première fois dans les années 1940 par Cameron-Martin puis en 1960 par Girsanov. Par la suite ils ont été étendus à des classes plus vastes de processus allant en 1977 jusqu'à la forme générale de Lenglart.
Soit une martingale locale continue par rapport à une filtration satisfaisant les conditions usuelles.
On définit l'exponentielle stochastique de par la formule
avec la Variation quadratique de . Notamment, on a l'équation différentielle stochastique :
Le processus est alors une martingale locale strictement positive, et on peut définir une mesure équivalente à la restriction de la mesure P à à partir de sa densité de Radon-Nikodym.
Si est en fait une vraie martingale, la famille est induite par une mesure Q définie sur toute la tribu :
De plus, si Y est une martingale locale sous P alors le processus
est une martingale locale sous Q.
Si X est un processus continu et W est un mouvement brownien sous P alors
est brownien sous Q.
La continuité de est triviale; selon le théorème de Girsanov, c'est une martingale locale sous Q, or :
Ce qui correspond à la caractérisation de Lévy du mouvement brownien sous Q.
Dans de nombreuses applications usuelles, le processus X est défini par
Pour un processus X de cette forme, une condition suffisante pour que l'exponentielle stochastique Z soit une martingale est la condition de Novikov :
Ce théorème peut être utilisé pour trouver l'unique probabilité risque neutre dans le modèle de Black-Scholes.
Source officielle
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