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Théorème de convergence dominée

Résumé

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue. Le théorème de convergence dominée Exemples Un cas particulier élémentaire mais utile Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle I de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :

la suite (f_n)_{n\in\N} converge simplement vers une fonction f ;
il existe une fonction continue g telle queAlors

Remarques sur l'hypothèse de domination L'existence d'une fonction intégrable g majorant toutes les fonctions f équivaut à l'intégrabilité de la fonction \sup_n|f_n| (la plus petite fonction majorant toutes les fonctions f). Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_convergence_domin%C3%A9e

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Strong convergence of multivariate maxima

Simone Padoan, Stefano Rizzelli

It is well known and readily seen that the maximum of n independent and uniformly on [0, 1] distributed random variables, suitably standardised, converges in total variation distance, as n increases, to the standard negative exponential distribution. We extend this result to higher dimensions by considering copulas. We show that the strong convergence result holds for copulas that are in a differential neighbourhood of a multivariate generalised Pareto copula. Sklar's theorem then implies convergence in variational distance of the maximum of n independent and identically distributed random vectors with arbitrary common distribution function and (under conditions on the marginals) of its appropriately normalised version. We illustrate how these convergence results can be exploited to establish the almost-sure consistency of some estimation procedures for max-stable models, using sample maxima.

CAMBRIDGE UNIV PRESS2020

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Accelerated SGD for Non-Strongly-Convex Least Squares

Nicolas Henri Bernard Flammarion, Aditya Vardhan Varre

We consider stochastic approximation for the least squares regression problem in the non-strongly convex setting. We present the first practical algorithm that achieves the optimal prediction error rates in terms of dependence on the noise of the problem, as

O(d/t)

while accelerating the forgetting of the initial conditions to

O(d/t^2)

. Our new algorithm is based on a simple modification of the accelerated gradient descent. We provide convergence results for both the averaged and the last iterate of the algorithm. In order to describe the tightness of these new bounds, we present a matching lower bound in the noiseless setting and thus show the optimality of our algorithm.

2022

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The asymmetric multitype contact process

Thomas Mountford, Daniel Rodrigues Valesin

We study the multitype contact process on Z(d) under the assumption that one of the types has a birth rate that is larger than that of the other type, and larger than the critical value of the standard contact process. We prove that, if initially present, the stronger type has a positive probability of never going extinct. Conditionally on this event, it takes over a ball of radius growing linearly in time. We also completely characterize the set of stationary distributions of the process and prove a complete convergence theorem. (C) 2018 Elsevier B.V. All rights reserved.

ELSEVIER SCIENCE BV2019

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Accelerated SGD for Non-Strongly-Convex Least Squares

Nicolas Henri Bernard Flammarion, Aditya Vardhan Varre

O(d/t)

while accelerating the forgetting of the initial conditions to

O(d/t^2)

2022