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Concept
Théorème de convergence dominée
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.
Soit une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :
la suite converge simplement vers une fonction ;
il existe une fonction continue telle queAlors
L'existence d'une fonction intégrable majorant toutes les fonctions f équivaut à l'intégrabilité de la fonction (la plus petite fonction majorant toutes les fonctions f).
Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f = 1/n1 — où n > 0 et 1 désigne la fonction indicatrice de l'intervalle [0, n[ — converge simplement vers la fonction nulle (la convergence est même uniforme) mais la suite des intégrales des f, loin de tendre vers l'intégrale (nulle) de cette limite, vaut constamment 1. D'après le théorème, n'est donc pas intégrable. (Effectivement : = 1/E(t) + 1, or la série harmonique diverge.)
Il peut cependant arriver que la conclusion souhaitée soit vraie sans qu'on puisse la déduire du théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f = 1 converge vers 0 à la fois simplement et dans L, bien que supf ne soit pas intégrable.
Appliquons le théorème au cas où chaque f est l'indicatrice d'une partie A de E. Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :
Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet
En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :
Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.
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