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Concept
Monade (théorie des catégories)
Résumé
Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou.
Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les . Elles constituent la théorie sous-jacente à la construction du même nom en programmation fonctionnelle.
La notion apparaît pour la première fois, sous le nom de « construction standard », dans un article de Roger Godement publié en 1958. Il s'agissait en fait d'une comonade, qui permettait de résoudre un problème de cohomologie des faisceaux. La notion est reprise pour l'étude de l'homotopie des catégories par Peter Huber, qui donne notamment la preuve que toute paire d'adjoint donne lieu à une monade. En 1965, et indépendamment, Samuel Eilenberg et John Coleman Moore démontrent la réciproque. Ce sont ces derniers qui donnent le nom de « triples » à la construction.
En 1963, William Lawvere propose une théorie catégorique de l'algèbre universelle. Fred Linton montre en 1966 que cette théorie peut s'exprimer en termes de monades. Les monades, issues de considérations plutôt topologiques, et a priori plus difficiles à manier que les théories de Lawvere, sont devenues la formulation la plus courante de l'algèbre universelle en termes de catégories.
En 1966, Jean Bénabou propose le nom de monade lors d'une conférence. Évoquant le mot « monoide », voire « monoidal triad » en anglais, ce nom est popularisé par Saunders Mac Lane dans son livre Categories for the Working Mathematician (1971). Le lien initial avec la philosophie de Leibniz (où la monade peut être décrite comme une unité génératrice de l'univers) n'est pas avéré.
Dans les années 1980, utilise les monades en informatique théorique pour modéliser certains aspects des programmes informatiques, tels que la gestion d'exceptions ou les effets de bord.
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Proximité ontologique
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Concepts associés (16)
Variété (algèbre)
En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe). Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées : (x * y) * z = x * (y * z) x * e = x e * x = x De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde.
Algèbre
L'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
Topos (mathématiques)
En mathématiques, un topos (au pluriel topos ou topoï) est un type particulier de catégorie. La théorie des topoï est polyvalente et est utilisée dans des domaines aussi variés que la logique, la topologie ou la géométrie algébrique. Un topos peut être défini comme une catégorie pourvue : de limites et colimites finies ; d'exponentielles ; d'un . D'autres définitions équivalentes sont données plus bas.