Représentation induite d'un groupe fini

En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la . Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius. Cet article traite le cas des groupes finis. Dans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H. La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ = Ind θ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que : θ est une sous-représentation de la restriction Res(ρ) de ρ à H ; pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :. Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous. Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore Ind (ψ) si un risque d'ambiguïté existe. Soit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module Alors ρ = Ind θ, puisque : W = K[H]⊗K[H]W est bien un sous-K[H]-module de V ; pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :qui peut se ou se détailler de façon plus élémentaire en vérifiant la bijectivité de l'application linéaire qui, à tout G-morphisme f de V dans E, associe le H-morphisme restriction de f à W. Si H = G, alors Ind θ = θ. Si θ est la représentation triviale de H, alors Ind θ est la représentation par permutations associée à l'action naturelle de G sur G/H. Si θ est la représentation régulière de H, alors Ind θ est la représentation régulière de G.